MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oeoe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oeoe 8599
Description: Product of exponents law for ordinal exponentiation. Theorem 8S of [Enderton] p. 238. Also Proposition 8.42 of [TakeutiZaring] p. 70. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Assertion
Ref Expression
oeoe ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (๐ด โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)))

Proof of Theorem oeoe
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต = โˆ… โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o โˆ…))
2 oe0m0 8520 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ… โ†‘o โˆ…) = 1o
31, 2eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (๐ต = โˆ… โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = 1o)
43oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (๐ต = โˆ… โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (1o โ†‘o ๐ถ))
5 oe1m 8545 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ On โ†’ (1o โ†‘o ๐ถ) = 1o)
64, 5sylan9eqr 2795 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ On โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = 1o)
76adantll 713 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = 1o)
8 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (๐ถ = โˆ… โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o โˆ…))
9 0elon 6419 . . . . . . . . . . . 12 โˆ… โˆˆ On
10 oecl 8537 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ… โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
119, 10mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
12 oe0 8522 . . . . . . . . . . 11 ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o โˆ…) = 1o)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ On โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o โˆ…) = 1o)
148, 13sylan9eqr 2795 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ = โˆ…) โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = 1o)
1514adantlr 714 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ถ = โˆ…) โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = 1o)
167, 15jaodan 957 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ถ = โˆ…)) โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = 1o)
17 om00 8575 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ต ยทo ๐ถ) = โˆ… โ†” (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ถ = โˆ…)))
1817biimpar 479 . . . . . . . . 9 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ถ = โˆ…)) โ†’ (๐ต ยทo ๐ถ) = โˆ…)
1918oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ถ = โˆ…)) โ†’ (โˆ… โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)) = (โˆ… โ†‘o โˆ…))
2019, 2eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ถ = โˆ…)) โ†’ (โˆ… โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)) = 1o)
2116, 20eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ถ = โˆ…)) โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (โˆ… โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)))
22 on0eln0 6421 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” ๐ต โ‰  โˆ…))
23 on0eln0 6421 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†” ๐ถ โ‰  โˆ…))
2422, 23bi2anan9 638 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((โˆ… โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†” (๐ต โ‰  โˆ… โˆง ๐ถ โ‰  โˆ…)))
25 neanior 3036 . . . . . . . . 9 ((๐ต โ‰  โˆ… โˆง ๐ถ โ‰  โˆ…) โ†” ยฌ (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ถ = โˆ…))
2624, 25bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((โˆ… โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†” ยฌ (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ถ = โˆ…)))
27 oe0m1 8521 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…))
2827biimpa 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…)
2928oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (โˆ… โ†‘o ๐ถ))
30 oe0m1 8521 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ถ โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ถ โ†” (โˆ… โ†‘o ๐ถ) = โˆ…))
3130biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ถ) = โˆ…)
3229, 31sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = โˆ…)
3332an4s 659 . . . . . . . . . 10 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = โˆ…)
34 om00el 8576 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ (๐ต ยทo ๐ถ) โ†” (โˆ… โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ)))
35 omcl 8536 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ต ยทo ๐ถ) โˆˆ On)
36 oe0m1 8521 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต ยทo ๐ถ) โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ (๐ต ยทo ๐ถ) โ†” (โˆ… โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)) = โˆ…))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ (๐ต ยทo ๐ถ) โ†” (โˆ… โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)) = โˆ…))
3834, 37bitr3d 281 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((โˆ… โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†” (โˆ… โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)) = โˆ…))
3938biimpa 478 . . . . . . . . . 10 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ)) โ†’ (โˆ… โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)) = โˆ…)
4033, 39eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (โˆ… โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)))
4140ex 414 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((โˆ… โˆˆ ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (โˆ… โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ))))
4226, 41sylbird 260 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (ยฌ (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ถ = โˆ…) โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (โˆ… โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ))))
4342imp 408 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ยฌ (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ถ = โˆ…)) โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (โˆ… โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)))
4421, 43pm2.61dan 812 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (โˆ… โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)))
45 oveq1 7416 . . . . . . 7 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o ๐ต))
4645oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ))
47 oveq1 7416 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)) = (โˆ… โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)))
4846, 47eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (๐ด โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)) โ†” ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (โˆ… โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ))))
4944, 48imbitrrid 245 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (๐ด โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ))))
5049impcom 409 . . 3 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (๐ด โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)))
51 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐ด = if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†‘o ๐ต))
5251oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (๐ด = if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = ((if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ))
53 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (๐ด = if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†’ (๐ด โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)) = (if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)))
5452, 53eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (๐ด = if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†’ (((๐ด โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (๐ด โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)) โ†” ((if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ))))
5554imbi2d 341 . . . . . 6 (๐ด = if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†’ (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (๐ด โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ))) โ†” ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)))))
56 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (๐ด = if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†” if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โˆˆ On))
57 eleq2 2823 . . . . . . . . . 10 (๐ด = if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†” โˆ… โˆˆ if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o)))
5856, 57anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (๐ด = if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†” (if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o))))
59 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (1o = if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†’ (1o โˆˆ On โ†” if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โˆˆ On))
60 eleq2 2823 . . . . . . . . . 10 (1o = if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†’ (โˆ… โˆˆ 1o โ†” โˆ… โˆˆ if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o)))
6159, 60anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (1o = if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†’ ((1o โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ 1o) โ†” (if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o))))
62 1on 8478 . . . . . . . . . 10 1o โˆˆ On
63 0lt1o 8504 . . . . . . . . . 10 โˆ… โˆˆ 1o
6462, 63pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (1o โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ 1o)
6558, 61, 64elimhyp 4594 . . . . . . . 8 (if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o))
6665simpli 485 . . . . . . 7 if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โˆˆ On
6765simpri 487 . . . . . . 7 โˆ… โˆˆ if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o)
6866, 67oeoelem 8598 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (if((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด), ๐ด, 1o) โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)))
6955, 68dedth 4587 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (๐ด โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ))))
7069imp 408 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (๐ด โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)))
7170an32s 651 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (๐ด โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)))
7250, 71oe0lem 8513 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (๐ด โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)))
73723impb 1116 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) โ†‘o ๐ถ) = (๐ด โ†‘o (๐ต ยทo ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ…c0 4323  ifcif 4529  Oncon0 6365  (class class class)co 7409  1oc1o 8459   ยทo comu 8464   โ†‘o coe 8465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-oexp 8472
This theorem is referenced by:  infxpenc  10013
  Copyright terms: Public domain W3C validator