MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oesuclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oesuclem 8524
Description: Lemma for oesuc 8526. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
oesuclem.1 Lim ๐‘‹
oesuclem.2 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
Assertion
Ref Expression
oesuclem ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hint:   ๐‘‹(๐‘ฅ)

Proof of Theorem oesuclem
StepHypRef Expression
1 oveq1 7415 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = (โˆ… โ†‘o suc ๐ต))
2 oesuclem.1 . . . . . . . 8 Lim ๐‘‹
3 limord 6424 . . . . . . . 8 (Lim ๐‘‹ โ†’ Ord ๐‘‹)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7 Ord ๐‘‹
5 ordelord 6386 . . . . . . 7 ((Ord ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ Ord ๐ต)
64, 5mpan 688 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ Ord ๐ต)
7 0elsuc 7822 . . . . . 6 (Ord ๐ต โ†’ โˆ… โˆˆ suc ๐ต)
86, 7syl 17 . . . . 5 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ โˆ… โˆˆ suc ๐ต)
9 limsuc 7837 . . . . . . 7 (Lim ๐‘‹ โ†’ (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†” suc ๐ต โˆˆ ๐‘‹))
102, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†” suc ๐ต โˆˆ ๐‘‹)
11 ordelon 6388 . . . . . . . 8 ((Ord ๐‘‹ โˆง suc ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
124, 11mpan 688 . . . . . . 7 (suc ๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
13 oe0m1 8520 . . . . . . 7 (suc ๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ suc ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o suc ๐ต) = โˆ…))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (suc ๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (โˆ… โˆˆ suc ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o suc ๐ต) = โˆ…))
1510, 14sylbi 216 . . . . 5 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (โˆ… โˆˆ suc ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o suc ๐ต) = โˆ…))
168, 15mpbid 231 . . . 4 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (โˆ… โ†‘o suc ๐ต) = โˆ…)
171, 16sylan9eqr 2794 . . 3 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = โˆ…)
18 oveq1 7415 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o ๐ต))
19 id 22 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ ๐ด = โˆ…)
2018, 19oveq12d 7426 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด) = ((โˆ… โ†‘o ๐ต) ยทo โˆ…))
21 ordelon 6388 . . . . . . 7 ((Ord ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
224, 21mpan 688 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
23 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (๐ต = โˆ… โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o โˆ…))
24 oe0m0 8519 . . . . . . . . . 10 (โˆ… โ†‘o โˆ…) = 1o
25 1on 8477 . . . . . . . . . 10 1o โˆˆ On
2624, 25eqeltri 2829 . . . . . . . . 9 (โˆ… โ†‘o โˆ…) โˆˆ On
2723, 26eqeltrdi 2841 . . . . . . . 8 (๐ต = โˆ… โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
2827adantl 482 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
29 oe0m1 8520 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…))
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…))
3130biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…)
32 0elon 6418 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ On
3331, 32eqeltrdi 2841 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
3433adantll 712 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
3528, 34oe0lem 8512 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
3622, 35mpancom 686 . . . . 5 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
37 om0 8516 . . . . 5 ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) ยทo โˆ…) = โˆ…)
3836, 37syl 17 . . . 4 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) ยทo โˆ…) = โˆ…)
3920, 38sylan9eqr 2794 . . 3 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด) = โˆ…)
4017, 39eqtr4d 2775 . 2 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
41 oesuclem.2 . . . 4 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
4241ad2antlr 725 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
4310, 12sylbi 216 . . . 4 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
44 oevn0 8514 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง suc ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต))
4543, 44sylanl2 679 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต))
46 ovex 7441 . . . . 5 (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ V
47 oveq1 7415 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ด โ†‘o ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐ด) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
48 eqid 2732 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))
49 ovex 7441 . . . . . 6 ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด) โˆˆ V
5047, 48, 49fvmpt 6998 . . . . 5 ((๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ V โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(๐ด โ†‘o ๐ต)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
5146, 50ax-mp 5 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(๐ด โ†‘o ๐ต)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด)
52 oevn0 8514 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
5322, 52sylanl2 679 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
5453fveq2d 6895 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(๐ด โ†‘o ๐ต)) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
5551, 54eqtr3id 2786 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
5642, 45, 553eqtr4d 2782 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
5740, 56oe0lem 8512 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474  โˆ…c0 4322   โ†ฆ cmpt 5231  Ord word 6363  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  suc csuc 6366  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  reccrdg 8408  1oc1o 8458   ยทo comu 8463   โ†‘o coe 8464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-omul 8470  df-oexp 8471
This theorem is referenced by:  oesuc  8526  onesuc  8529
  Copyright terms: Public domain W3C validator