MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oesuclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oesuclem 8475
Description: Lemma for oesuc 8477. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
oesuclem.1 Lim ๐‘‹
oesuclem.2 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
Assertion
Ref Expression
oesuclem ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hint:   ๐‘‹(๐‘ฅ)

Proof of Theorem oesuclem
StepHypRef Expression
1 oveq1 7368 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = (โˆ… โ†‘o suc ๐ต))
2 oesuclem.1 . . . . . . . 8 Lim ๐‘‹
3 limord 6381 . . . . . . . 8 (Lim ๐‘‹ โ†’ Ord ๐‘‹)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7 Ord ๐‘‹
5 ordelord 6343 . . . . . . 7 ((Ord ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ Ord ๐ต)
64, 5mpan 689 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ Ord ๐ต)
7 0elsuc 7774 . . . . . 6 (Ord ๐ต โ†’ โˆ… โˆˆ suc ๐ต)
86, 7syl 17 . . . . 5 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ โˆ… โˆˆ suc ๐ต)
9 limsuc 7789 . . . . . . 7 (Lim ๐‘‹ โ†’ (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†” suc ๐ต โˆˆ ๐‘‹))
102, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†” suc ๐ต โˆˆ ๐‘‹)
11 ordelon 6345 . . . . . . . 8 ((Ord ๐‘‹ โˆง suc ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
124, 11mpan 689 . . . . . . 7 (suc ๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
13 oe0m1 8471 . . . . . . 7 (suc ๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ suc ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o suc ๐ต) = โˆ…))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (suc ๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (โˆ… โˆˆ suc ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o suc ๐ต) = โˆ…))
1510, 14sylbi 216 . . . . 5 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (โˆ… โˆˆ suc ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o suc ๐ต) = โˆ…))
168, 15mpbid 231 . . . 4 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (โˆ… โ†‘o suc ๐ต) = โˆ…)
171, 16sylan9eqr 2795 . . 3 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = โˆ…)
18 oveq1 7368 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o ๐ต))
19 id 22 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ ๐ด = โˆ…)
2018, 19oveq12d 7379 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด) = ((โˆ… โ†‘o ๐ต) ยทo โˆ…))
21 ordelon 6345 . . . . . . 7 ((Ord ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
224, 21mpan 689 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
23 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (๐ต = โˆ… โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o โˆ…))
24 oe0m0 8470 . . . . . . . . . 10 (โˆ… โ†‘o โˆ…) = 1o
25 1on 8428 . . . . . . . . . 10 1o โˆˆ On
2624, 25eqeltri 2830 . . . . . . . . 9 (โˆ… โ†‘o โˆ…) โˆˆ On
2723, 26eqeltrdi 2842 . . . . . . . 8 (๐ต = โˆ… โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
2827adantl 483 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
29 oe0m1 8471 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…))
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…))
3130biimpa 478 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…)
32 0elon 6375 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ On
3331, 32eqeltrdi 2842 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
3433adantll 713 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
3528, 34oe0lem 8463 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
3622, 35mpancom 687 . . . . 5 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
37 om0 8467 . . . . 5 ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) ยทo โˆ…) = โˆ…)
3836, 37syl 17 . . . 4 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) ยทo โˆ…) = โˆ…)
3920, 38sylan9eqr 2795 . . 3 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด) = โˆ…)
4017, 39eqtr4d 2776 . 2 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
41 oesuclem.2 . . . 4 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
4241ad2antlr 726 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
4310, 12sylbi 216 . . . 4 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
44 oevn0 8465 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง suc ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต))
4543, 44sylanl2 680 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต))
46 ovex 7394 . . . . 5 (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ V
47 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ด โ†‘o ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐ด) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
48 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))
49 ovex 7394 . . . . . 6 ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด) โˆˆ V
5047, 48, 49fvmpt 6952 . . . . 5 ((๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ V โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(๐ด โ†‘o ๐ต)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
5146, 50ax-mp 5 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(๐ด โ†‘o ๐ต)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด)
52 oevn0 8465 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
5322, 52sylanl2 680 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
5453fveq2d 6850 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(๐ด โ†‘o ๐ต)) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
5551, 54eqtr3id 2787 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
5642, 45, 553eqtr4d 2783 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
5740, 56oe0lem 8463 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447  โˆ…c0 4286   โ†ฆ cmpt 5192  Ord word 6320  Oncon0 6321  Lim wlim 6322  suc csuc 6323  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  reccrdg 8359  1oc1o 8409   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-omul 8421  df-oexp 8422
This theorem is referenced by:  oesuc  8477  onesuc  8480
  Copyright terms: Public domain W3C validator