MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oesuclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oesuclem 8525
Description: Lemma for oesuc 8527. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
oesuclem.1 Lim ๐‘‹
oesuclem.2 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
Assertion
Ref Expression
oesuclem ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hint:   ๐‘‹(๐‘ฅ)

Proof of Theorem oesuclem
StepHypRef Expression
1 oveq1 7416 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = (โˆ… โ†‘o suc ๐ต))
2 oesuclem.1 . . . . . . . 8 Lim ๐‘‹
3 limord 6425 . . . . . . . 8 (Lim ๐‘‹ โ†’ Ord ๐‘‹)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7 Ord ๐‘‹
5 ordelord 6387 . . . . . . 7 ((Ord ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ Ord ๐ต)
64, 5mpan 689 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ Ord ๐ต)
7 0elsuc 7823 . . . . . 6 (Ord ๐ต โ†’ โˆ… โˆˆ suc ๐ต)
86, 7syl 17 . . . . 5 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ โˆ… โˆˆ suc ๐ต)
9 limsuc 7838 . . . . . . 7 (Lim ๐‘‹ โ†’ (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†” suc ๐ต โˆˆ ๐‘‹))
102, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†” suc ๐ต โˆˆ ๐‘‹)
11 ordelon 6389 . . . . . . . 8 ((Ord ๐‘‹ โˆง suc ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
124, 11mpan 689 . . . . . . 7 (suc ๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
13 oe0m1 8521 . . . . . . 7 (suc ๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ suc ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o suc ๐ต) = โˆ…))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (suc ๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (โˆ… โˆˆ suc ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o suc ๐ต) = โˆ…))
1510, 14sylbi 216 . . . . 5 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (โˆ… โˆˆ suc ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o suc ๐ต) = โˆ…))
168, 15mpbid 231 . . . 4 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (โˆ… โ†‘o suc ๐ต) = โˆ…)
171, 16sylan9eqr 2795 . . 3 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = โˆ…)
18 oveq1 7416 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o ๐ต))
19 id 22 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ ๐ด = โˆ…)
2018, 19oveq12d 7427 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด) = ((โˆ… โ†‘o ๐ต) ยทo โˆ…))
21 ordelon 6389 . . . . . . 7 ((Ord ๐‘‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
224, 21mpan 689 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
23 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (๐ต = โˆ… โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o โˆ…))
24 oe0m0 8520 . . . . . . . . . 10 (โˆ… โ†‘o โˆ…) = 1o
25 1on 8478 . . . . . . . . . 10 1o โˆˆ On
2624, 25eqeltri 2830 . . . . . . . . 9 (โˆ… โ†‘o โˆ…) โˆˆ On
2723, 26eqeltrdi 2842 . . . . . . . 8 (๐ต = โˆ… โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
2827adantl 483 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
29 oe0m1 8521 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…))
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…))
3130biimpa 478 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…)
32 0elon 6419 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ On
3331, 32eqeltrdi 2842 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
3433adantll 713 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
3528, 34oe0lem 8513 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
3622, 35mpancom 687 . . . . 5 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
37 om0 8517 . . . . 5 ((โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) ยทo โˆ…) = โˆ…)
3836, 37syl 17 . . . 4 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ((โˆ… โ†‘o ๐ต) ยทo โˆ…) = โˆ…)
3920, 38sylan9eqr 2795 . . 3 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด) = โˆ…)
4017, 39eqtr4d 2776 . 2 ((๐ต โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
41 oesuclem.2 . . . 4 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
4241ad2antlr 726 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
4310, 12sylbi 216 . . . 4 (๐ต โˆˆ ๐‘‹ โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
44 oevn0 8515 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง suc ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต))
4543, 44sylanl2 680 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜suc ๐ต))
46 ovex 7442 . . . . 5 (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ V
47 oveq1 7416 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ด โ†‘o ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐ด) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
48 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))
49 ovex 7442 . . . . . 6 ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด) โˆˆ V
5047, 48, 49fvmpt 6999 . . . . 5 ((๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ V โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(๐ด โ†‘o ๐ต)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
5146, 50ax-mp 5 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(๐ด โ†‘o ๐ต)) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด)
52 oevn0 8515 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
5322, 52sylanl2 680 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
5453fveq2d 6896 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(๐ด โ†‘o ๐ต)) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
5551, 54eqtr3id 2787 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
5642, 45, 553eqtr4d 2783 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
5740, 56oe0lem 8513 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐ต) = ((๐ด โ†‘o ๐ต) ยทo ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3475  โˆ…c0 4323   โ†ฆ cmpt 5232  Ord word 6364  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  suc csuc 6367  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  reccrdg 8409  1oc1o 8459   ยทo comu 8464   โ†‘o coe 8465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-omul 8471  df-oexp 8472
This theorem is referenced by:  oesuc  8527  onesuc  8530
  Copyright terms: Public domain W3C validator