Theorem oe0 8451

Description: Ordinal exponentiation with zero exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oe0	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)

Proof of Theorem oe0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7368	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ↑o ∅) = (∅ ↑o ∅))
2		oe0m0 8449	. . . . 5 ⊢ (∅ ↑o ∅) = 1o
3	1, 2	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
5		0elon 6373	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
6		oevn0 8444	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅))
7	5, 6	mpanl2 702	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅))
8		1oex 8409	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
9	8	rdg0 8354	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅) = 1o
10	7, 9	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
11	10	adantll 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
12	4, 11	oe0lem 8442	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
13	12	anidms 566	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274   ↦ cmpt 5167  Oncon0 6318  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  reccrdg 8342  1_oc1o 8392   ·_o comu 8397   ↑_o coe 8398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oexp 8405

This theorem is referenced by:  oecl  8466  oe1  8473  oe1m  8474  oen0  8516  oewordri  8522  oeoalem  8526  oeoelem  8528  oeoe  8529  oeeulem  8531  nnecl  8543  oaabs2  8579  cantnff  9589  onexoegt  43693  oe0suclim  43726  oenassex  43767  omabs2  43781  omcl2  43782