Theorem oe0 8507

Description: Ordinal exponentiation with zero exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oe0	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)

Proof of Theorem oe0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ↑o ∅) = (∅ ↑o ∅))
2		oe0m0 8505	. . . . 5 ⊢ (∅ ↑o ∅) = 1o
3	1, 2	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
4	3	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
5		0elon 6417	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
6		oevn0 8500	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅))
7	5, 6	mpanl2 713	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅))
8		1oex 8463	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
9	8	rdg0 8408	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅) = 1o
10	7, 9	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
11	10	adantll 726	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
12	4, 11	oe0lem 8498	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
13	12	anidms 576	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3461  ∅c0 4292   ↦ cmpt 5194  Oncon0 6361  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  reccrdg 8396  1_oc1o 8446   ·_o comu 8451   ↑_o coe 8452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oexp 8459

This theorem is referenced by:  oecl  8522  oe1  8529  oe1m  8530  oen0  8572  oewordri  8578  oeoalem  8582  oeoelem  8584  oeoe  8585  oeeulem  8587  nnecl  8599  oaabs2  8635  cantnff  9643  onexoegt  43898  oe0suclim  43931  oenassex  43972  omabs2  43986  omcl2  43987