![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > oe0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Ordinal exponentiation with zero exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
oe0 | โข (๐ด โ On โ (๐ด โo โ ) = 1o) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq1 7408 | . . . . 5 โข (๐ด = โ โ (๐ด โo โ ) = (โ โo โ )) | |
2 | oe0m0 8515 | . . . . 5 โข (โ โo โ ) = 1o | |
3 | 1, 2 | eqtrdi 2780 | . . . 4 โข (๐ด = โ โ (๐ด โo โ ) = 1o) |
4 | 3 | adantl 481 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ด = โ ) โ (๐ด โo โ ) = 1o) |
5 | 0elon 6408 | . . . . . 6 โข โ โ On | |
6 | oevn0 8510 | . . . . . 6 โข (((๐ด โ On โง โ โ On) โง โ โ ๐ด) โ (๐ด โo โ ) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โโ )) | |
7 | 5, 6 | mpanl2 698 | . . . . 5 โข ((๐ด โ On โง โ โ ๐ด) โ (๐ด โo โ ) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โโ )) |
8 | 1oex 8471 | . . . . . 6 โข 1o โ V | |
9 | 8 | rdg0 8416 | . . . . 5 โข (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โโ ) = 1o |
10 | 7, 9 | eqtrdi 2780 | . . . 4 โข ((๐ด โ On โง โ โ ๐ด) โ (๐ด โo โ ) = 1o) |
11 | 10 | adantll 711 | . . 3 โข (((๐ด โ On โง ๐ด โ On) โง โ โ ๐ด) โ (๐ด โo โ ) = 1o) |
12 | 4, 11 | oe0lem 8508 | . 2 โข ((๐ด โ On โง ๐ด โ On) โ (๐ด โo โ ) = 1o) |
13 | 12 | anidms 566 | 1 โข (๐ด โ On โ (๐ด โo โ ) = 1o) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3466 โ c0 4314 โฆ cmpt 5221 Oncon0 6354 โcfv 6533 (class class class)co 7401 reccrdg 8404 1oc1o 8454 ยทo comu 8459 โo coe 8460 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pr 5417 ax-un 7718 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-ral 3054 df-rex 3063 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3959 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-op 4627 df-uni 4900 df-iun 4989 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-tr 5256 df-id 5564 df-eprel 5570 df-po 5578 df-so 5579 df-fr 5621 df-we 5623 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6290 df-ord 6357 df-on 6358 df-lim 6359 df-suc 6360 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-om 7849 df-2nd 7969 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-1o 8461 df-oexp 8467 |
This theorem is referenced by: oecl 8532 oe1 8539 oe1m 8540 oen0 8581 oewordri 8587 oeoalem 8591 oeoelem 8593 oeoe 8594 oeeulem 8596 nnecl 8608 oaabs2 8644 cantnff 9665 onexoegt 42482 oe0suclim 42516 oenassex 42557 omabs2 42571 omcl2 42572 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |