Theorem oe0 8521

Description: Ordinal exponentiation with zero exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oe0	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)

Proof of Theorem oe0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ↑o ∅) = (∅ ↑o ∅))
2		oe0m0 8519	. . . . 5 ⊢ (∅ ↑o ∅) = 1o
3	1, 2	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
4	3	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
5		0elon 6418	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
6		oevn0 8514	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅))
7	5, 6	mpanl2 699	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅))
8		1oex 8475	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
9	8	rdg0 8420	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅) = 1o
10	7, 9	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
11	10	adantll 712	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
12	4, 11	oe0lem 8512	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
13	12	anidms 567	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ∅c0 4322   ↦ cmpt 5231  Oncon0 6364  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  reccrdg 8408  1_oc1o 8458   ·_o comu 8463   ↑_o coe 8464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oexp 8471

This theorem is referenced by:  oecl  8536  oe1  8543  oe1m  8544  oen0  8585  oewordri  8591  oeoalem  8595  oeoelem  8597  oeoe  8598  oeeulem  8600  nnecl  8612  oaabs2  8647  cantnff  9668  onexoegt  41983  oe0suclim  42017  oenassex  42058  omabs2  42072  omcl2  42073