MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe0 8517
Description: Ordinal exponentiation with zero exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
oe0 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)

Proof of Theorem oe0
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7408 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = (โˆ… โ†‘o โˆ…))
2 oe0m0 8515 . . . . 5 (โˆ… โ†‘o โˆ…) = 1o
31, 2eqtrdi 2780 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
43adantl 481 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
5 0elon 6408 . . . . . 6 โˆ… โˆˆ On
6 oevn0 8510 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜โˆ…))
75, 6mpanl2 698 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜โˆ…))
8 1oex 8471 . . . . . 6 1o โˆˆ V
98rdg0 8416 . . . . 5 (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜โˆ…) = 1o
107, 9eqtrdi 2780 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
1110adantll 711 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
124, 11oe0lem 8508 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
1312anidms 566 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3466  โˆ…c0 4314   โ†ฆ cmpt 5221  Oncon0 6354  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  reccrdg 8404  1oc1o 8454   ยทo comu 8459   โ†‘o coe 8460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oexp 8467
This theorem is referenced by:  oecl  8532  oe1  8539  oe1m  8540  oen0  8581  oewordri  8587  oeoalem  8591  oeoelem  8593  oeoe  8594  oeeulem  8596  nnecl  8608  oaabs2  8644  cantnff  9665  onexoegt  42482  oe0suclim  42516  oenassex  42557  omabs2  42571  omcl2  42572
  Copyright terms: Public domain W3C validator