![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > oe0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Ordinal exponentiation with zero exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
oe0 | โข (๐ด โ On โ (๐ด โo โ ) = 1o) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq1 7421 | . . . . 5 โข (๐ด = โ โ (๐ด โo โ ) = (โ โo โ )) | |
2 | oe0m0 8534 | . . . . 5 โข (โ โo โ ) = 1o | |
3 | 1, 2 | eqtrdi 2783 | . . . 4 โข (๐ด = โ โ (๐ด โo โ ) = 1o) |
4 | 3 | adantl 481 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ด = โ ) โ (๐ด โo โ ) = 1o) |
5 | 0elon 6417 | . . . . . 6 โข โ โ On | |
6 | oevn0 8529 | . . . . . 6 โข (((๐ด โ On โง โ โ On) โง โ โ ๐ด) โ (๐ด โo โ ) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โโ )) | |
7 | 5, 6 | mpanl2 700 | . . . . 5 โข ((๐ด โ On โง โ โ ๐ด) โ (๐ด โo โ ) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โโ )) |
8 | 1oex 8490 | . . . . . 6 โข 1o โ V | |
9 | 8 | rdg0 8435 | . . . . 5 โข (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โโ ) = 1o |
10 | 7, 9 | eqtrdi 2783 | . . . 4 โข ((๐ด โ On โง โ โ ๐ด) โ (๐ด โo โ ) = 1o) |
11 | 10 | adantll 713 | . . 3 โข (((๐ด โ On โง ๐ด โ On) โง โ โ ๐ด) โ (๐ด โo โ ) = 1o) |
12 | 4, 11 | oe0lem 8527 | . 2 โข ((๐ด โ On โง ๐ด โ On) โ (๐ด โo โ ) = 1o) |
13 | 12 | anidms 566 | 1 โข (๐ด โ On โ (๐ด โo โ ) = 1o) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 Vcvv 3469 โ c0 4318 โฆ cmpt 5225 Oncon0 6363 โcfv 6542 (class class class)co 7414 reccrdg 8423 1oc1o 8473 ยทo comu 8478 โo coe 8479 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pr 5423 ax-un 7734 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-ral 3057 df-rex 3066 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-oexp 8486 |
This theorem is referenced by: oecl 8551 oe1 8558 oe1m 8559 oen0 8600 oewordri 8606 oeoalem 8610 oeoelem 8612 oeoe 8613 oeeulem 8615 nnecl 8627 oaabs2 8663 cantnff 9691 onexoegt 42644 oe0suclim 42678 oenassex 42719 omabs2 42733 omcl2 42734 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |