MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oewordri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oewordri 8543
Description: Weak ordering property of ordinal exponentiation. Proposition 8.35 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oewordri ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐ถ)))

Proof of Theorem oewordri
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o โˆ…))
2 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ต โ†‘o โˆ…))
31, 2sseq12d 3981 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ด โ†‘o โˆ…) โŠ† (๐ต โ†‘o โˆ…)))
4 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
5 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))
64, 5sseq12d 3981 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ)))
7 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ))
8 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ))
97, 8sseq12d 3981 . . . 4 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ)))
10 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o ๐ถ))
11 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ต โ†‘o ๐ถ))
1210, 11sseq12d 3981 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ด โ†‘o ๐ถ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐ถ)))
13 onelon 6346 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
14 oe0 8472 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
16 oe0 8472 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ต โ†‘o โˆ…) = 1o)
1716adantr 482 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต โ†‘o โˆ…) = 1o)
1815, 17eqtr4d 2776 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = (๐ต โ†‘o โˆ…))
19 eqimss 4004 . . . . 5 ((๐ด โ†‘o โˆ…) = (๐ต โ†‘o โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) โŠ† (๐ต โ†‘o โˆ…))
2018, 19syl 17 . . . 4 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) โŠ† (๐ต โ†‘o โˆ…))
21 simpl 484 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
22 onelss 6363 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ๐ด โŠ† ๐ต))
2322imp 408 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โŠ† ๐ต)
2413, 21, 23jca31 516 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โŠ† ๐ต))
25 oecl 8487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
26253adant2 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
27 oecl 8487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
28273adant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
29 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
30 omwordri 8523 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด)))
3126, 28, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด)))
3231imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด))
3332adantrl 715 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด))
34 omwordi 8522 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On) โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ต)))
3528, 34syld3an3 1410 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ต)))
3635imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง ๐ด โŠ† ๐ต) โ†’ ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ต))
3736adantrr 716 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ต))
3833, 37sstrd 3958 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ต))
39 oesuc 8477 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด))
40393adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด))
4140adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด))
42 oesuc 8477 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ต))
43423adant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ต))
4443adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ต))
4538, 41, 443sstr4d 3995 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ))
4645exp520 1358 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ))))))
4746com3r 87 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ))))))
4847imp4c 425 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โŠ† ๐ต) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ))))
4924, 48syl5 34 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ))))
50 vex 3451 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘ฅ โˆˆ V
51 limelon 6385 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
5250, 51mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
53 0ellim 6384 . . . . . . . . . . 11 (Lim ๐‘ฅ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ)
54 oe0m1 8471 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โ†” (โˆ… โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆ…))
5554biimpa 478 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆ…)
5652, 53, 55syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆ…)
57 0ss 4360 . . . . . . . . . 10 โˆ… โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ)
5856, 57eqsstrdi 4002 . . . . . . . . 9 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ))
59 oveq1 7368 . . . . . . . . . 10 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (โˆ… โ†‘o ๐‘ฅ))
6059sseq1d 3979 . . . . . . . . 9 (๐ด = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (โˆ… โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ)))
6158, 60imbitrrid 245 . . . . . . . 8 (๐ด = โˆ… โ†’ (Lim ๐‘ฅ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ)))
6261adantl 483 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (Lim ๐‘ฅ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ)))
6362a1dd 50 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ))))
64 ss2iun 4976 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))
65 oelim 8484 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
6650, 65mpanlr1 705 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
6766an32s 651 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
6867adantllr 718 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
6921anim1i 616 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ))
70 ne0i 4298 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
71 on0eln0 6377 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” ๐ต โ‰  โˆ…))
7270, 71imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต))
7372imp 408 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
7473adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
75 oelim 8484 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ต โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))
7650, 75mpanlr1 705 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))
7769, 74, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))
7877ad4ant24 753 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))
7968, 78sseq12d 3981 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ)))
8064, 79imbitrrid 245 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ)))
8180ex 414 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ))))
8263, 81oe0lem 8463 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ))))
8313ancri 551 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)))
8482, 83syl11 33 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ))))
853, 6, 9, 12, 20, 49, 84tfinds3 7805 . . 3 (๐ถ โˆˆ On โ†’ ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐ถ)))
8685expd 417 . 2 (๐ถ โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐ถ))))
8786impcom 409 1 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  Vcvv 3447   โŠ† wss 3914  โˆ…c0 4286  โˆช ciun 4958  Oncon0 6321  Lim wlim 6322  suc csuc 6323  (class class class)co 7361  1oc1o 8409   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-oexp 8422
This theorem is referenced by:  oeordsuc  8545  oege2  41689
  Copyright terms: Public domain W3C validator