MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oewordri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oewordri 8594
Description: Weak ordering property of ordinal exponentiation. Proposition 8.35 of [TakeutiZaring] p. 68. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oewordri ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐ถ)))

Proof of Theorem oewordri
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o โˆ…))
2 oveq2 7419 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ต โ†‘o โˆ…))
31, 2sseq12d 4015 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ด โ†‘o โˆ…) โŠ† (๐ต โ†‘o โˆ…)))
4 oveq2 7419 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
5 oveq2 7419 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))
64, 5sseq12d 4015 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ)))
7 oveq2 7419 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ))
8 oveq2 7419 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ))
97, 8sseq12d 4015 . . . 4 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ)))
10 oveq2 7419 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o ๐ถ))
11 oveq2 7419 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ต โ†‘o ๐ถ))
1210, 11sseq12d 4015 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (๐ด โ†‘o ๐ถ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐ถ)))
13 onelon 6389 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
14 oe0 8524 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
16 oe0 8524 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ต โ†‘o โˆ…) = 1o)
1716adantr 481 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต โ†‘o โˆ…) = 1o)
1815, 17eqtr4d 2775 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = (๐ต โ†‘o โˆ…))
19 eqimss 4040 . . . . 5 ((๐ด โ†‘o โˆ…) = (๐ต โ†‘o โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) โŠ† (๐ต โ†‘o โˆ…))
2018, 19syl 17 . . . 4 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) โŠ† (๐ต โ†‘o โˆ…))
21 simpl 483 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
22 onelss 6406 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ๐ด โŠ† ๐ต))
2322imp 407 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โŠ† ๐ต)
2413, 21, 23jca31 515 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โŠ† ๐ต))
25 oecl 8539 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
26253adant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
27 oecl 8539 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
28273adant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
29 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
30 omwordri 8574 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด)))
3126, 28, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด)))
3231imp 407 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด))
3332adantrl 714 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด))
34 omwordi 8573 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On) โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ต)))
3528, 34syld3an3 1409 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ต)))
3635imp 407 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง ๐ด โŠ† ๐ต) โ†’ ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ต))
3736adantrr 715 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ต))
3833, 37sstrd 3992 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โŠ† ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ต))
39 oesuc 8529 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด))
40393adant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด))
4140adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด))
42 oesuc 8529 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ต))
43423adant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ต))
4443adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ต))
4538, 41, 443sstr4d 4029 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โˆง (๐ด โŠ† ๐ต โˆง (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ))
4645exp520 1357 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ))))))
4746com3r 87 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โŠ† ๐ต โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ))))))
4847imp4c 424 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โŠ† ๐ต) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ))))
4924, 48syl5 34 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o suc ๐‘ฆ))))
50 vex 3478 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘ฅ โˆˆ V
51 limelon 6428 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
5250, 51mpan 688 . . . . . . . . . . 11 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
53 0ellim 6427 . . . . . . . . . . 11 (Lim ๐‘ฅ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ)
54 oe0m1 8523 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โ†” (โˆ… โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆ…))
5554biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆ…)
5652, 53, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆ…)
57 0ss 4396 . . . . . . . . . 10 โˆ… โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ)
5856, 57eqsstrdi 4036 . . . . . . . . 9 (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ))
59 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (โˆ… โ†‘o ๐‘ฅ))
6059sseq1d 4013 . . . . . . . . 9 (๐ด = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (โˆ… โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ)))
6158, 60imbitrrid 245 . . . . . . . 8 (๐ด = โˆ… โ†’ (Lim ๐‘ฅ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ)))
6261adantl 482 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (Lim ๐‘ฅ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ)))
6362a1dd 50 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ))))
64 ss2iun 5015 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))
65 oelim 8536 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
6650, 65mpanlr1 704 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
6766an32s 650 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
6867adantllr 717 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
6921anim1i 615 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ))
70 ne0i 4334 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
71 on0eln0 6420 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” ๐ต โ‰  โˆ…))
7270, 71imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต))
7372imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
7473adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
75 oelim 8536 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ต โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))
7650, 75mpanlr1 704 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))
7769, 74, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))
7877ad4ant24 752 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ))
7968, 78sseq12d 4015 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ)))
8064, 79imbitrrid 245 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง Lim ๐‘ฅ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ)))
8180ex 413 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ))))
8263, 81oe0lem 8515 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ (Lim ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ))))
8313ancri 550 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)))
8482, 83syl11 33 . . . 4 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฆ) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐‘ฅ))))
853, 6, 9, 12, 20, 49, 84tfinds3 7856 . . 3 (๐ถ โˆˆ On โ†’ ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐ถ)))
8685expd 416 . 2 (๐ถ โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐ถ))))
8786impcom 408 1 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ถ) โŠ† (๐ต โ†‘o ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  โˆช ciun 4997  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  suc csuc 6366  (class class class)co 7411  1oc1o 8461   ยทo comu 8466   โ†‘o coe 8467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-oexp 8474
This theorem is referenced by:  oeordsuc  8596  oege2  42139
  Copyright terms: Public domain W3C validator