MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oev2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oev2 8473
Description: Alternate value of ordinal exponentiation. Compare oev 8464. (Contributed by NM, 2-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
oev2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ ((V โˆ– โˆฉ ๐ด) โˆช โˆฉ ๐ต)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem oev2
StepHypRef Expression
1 oveq12 7370 . . . . . 6 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o โˆ…))
2 oe0m0 8470 . . . . . 6 (โˆ… โ†‘o โˆ…) = 1o
31, 2eqtrdi 2789 . . . . 5 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = 1o)
4 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (๐ต = โˆ… โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜โˆ…))
5 1oex 8426 . . . . . . . . 9 1o โˆˆ V
65rdg0 8371 . . . . . . . 8 (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜โˆ…) = 1o
74, 6eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (๐ต = โˆ… โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) = 1o)
8 inteq 4914 . . . . . . . 8 (๐ต = โˆ… โ†’ โˆฉ ๐ต = โˆฉ โˆ…)
9 int0 4927 . . . . . . . 8 โˆฉ โˆ… = V
108, 9eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (๐ต = โˆ… โ†’ โˆฉ ๐ต = V)
117, 10ineq12d 4177 . . . . . 6 (๐ต = โˆ… โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ โˆฉ ๐ต) = (1o โˆฉ V))
12 inv1 4358 . . . . . . 7 (1o โˆฉ V) = 1o
1312a1i 11 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ (1o โˆฉ V) = 1o)
1411, 13sylan9eqr 2795 . . . . 5 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ โˆฉ ๐ต) = 1o)
153, 14eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐ด = โˆ… โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ โˆฉ ๐ต))
16 oveq1 7368 . . . . . . 7 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o ๐ต))
17 oe0m1 8471 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…))
1817biimpa 478 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…)
1916, 18sylan9eqr 2795 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆ…)
2019an32s 651 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด = โˆ…) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆ…)
21 int0el 4944 . . . . . . . 8 (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ โˆฉ ๐ต = โˆ…)
2221ineq2d 4176 . . . . . . 7 (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ โˆฉ ๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ โˆ…))
23 in0 4355 . . . . . . 7 ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ โˆ…) = โˆ…
2422, 23eqtrdi 2789 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ โˆฉ ๐ต) = โˆ…)
2524adantl 483 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด = โˆ…) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ โˆฉ ๐ต) = โˆ…)
2620, 25eqtr4d 2776 . . . 4 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด = โˆ…) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ โˆฉ ๐ต))
2715, 26oe0lem 8463 . . 3 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ โˆฉ ๐ต))
28 inteq 4914 . . . . . . . . . 10 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆฉ ๐ด = โˆฉ โˆ…)
2928, 9eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (๐ด = โˆ… โ†’ โˆฉ ๐ด = V)
3029difeq2d 4086 . . . . . . . 8 (๐ด = โˆ… โ†’ (V โˆ– โˆฉ ๐ด) = (V โˆ– V))
31 difid 4334 . . . . . . . 8 (V โˆ– V) = โˆ…
3230, 31eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (๐ด = โˆ… โ†’ (V โˆ– โˆฉ ๐ด) = โˆ…)
3332uneq2d 4127 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โ†’ (โˆฉ ๐ต โˆช (V โˆ– โˆฉ ๐ด)) = (โˆฉ ๐ต โˆช โˆ…))
34 uncom 4117 . . . . . 6 (โˆฉ ๐ต โˆช (V โˆ– โˆฉ ๐ด)) = ((V โˆ– โˆฉ ๐ด) โˆช โˆฉ ๐ต)
35 un0 4354 . . . . . 6 (โˆฉ ๐ต โˆช โˆ…) = โˆฉ ๐ต
3633, 34, 353eqtr3g 2796 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ ((V โˆ– โˆฉ ๐ด) โˆช โˆฉ ๐ต) = โˆฉ ๐ต)
3736adantl 483 . . . 4 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ ((V โˆ– โˆฉ ๐ด) โˆช โˆฉ ๐ต) = โˆฉ ๐ต)
3837ineq2d 4176 . . 3 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ ((V โˆ– โˆฉ ๐ด) โˆช โˆฉ ๐ต)) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ โˆฉ ๐ต))
3927, 38eqtr4d 2776 . 2 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ ((V โˆ– โˆฉ ๐ด) โˆช โˆฉ ๐ต)))
40 oevn0 8465 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
41 int0el 4944 . . . . . . . . . 10 (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ โˆฉ ๐ด = โˆ…)
4241difeq2d 4086 . . . . . . . . 9 (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (V โˆ– โˆฉ ๐ด) = (V โˆ– โˆ…))
43 dif0 4336 . . . . . . . . 9 (V โˆ– โˆ…) = V
4442, 43eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (V โˆ– โˆฉ ๐ด) = V)
4544uneq2d 4127 . . . . . . 7 (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆฉ ๐ต โˆช (V โˆ– โˆฉ ๐ด)) = (โˆฉ ๐ต โˆช V))
46 unv 4359 . . . . . . 7 (โˆฉ ๐ต โˆช V) = V
4745, 34, 463eqtr3g 2796 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ ((V โˆ– โˆฉ ๐ด) โˆช โˆฉ ๐ต) = V)
4847adantl 483 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((V โˆ– โˆฉ ๐ด) โˆช โˆฉ ๐ต) = V)
4948ineq2d 4176 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ ((V โˆ– โˆฉ ๐ด) โˆช โˆฉ ๐ต)) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ V))
50 inv1 4358 . . . 4 ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ V) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)
5149, 50eqtr2di 2790 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ ((V โˆ– โˆฉ ๐ด) โˆช โˆฉ ๐ต)))
5240, 51eqtrd 2773 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ ((V โˆ– โˆฉ ๐ด) โˆช โˆฉ ๐ต)))
5339, 52oe0lem 8463 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆฉ ((V โˆ– โˆฉ ๐ด) โˆช โˆฉ ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447   โˆ– cdif 3911   โˆช cun 3912   โˆฉ cin 3913  โˆ…c0 4286  โˆฉ cint 4911   โ†ฆ cmpt 5192  Oncon0 6321  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  reccrdg 8359  1oc1o 8409   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oexp 8422
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator