MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oev 8509
Description: Value of ordinal exponentiation. (Contributed by NM, 30-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
oev ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem oev
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2728 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฆ = โˆ… โ†” ๐ด = โˆ…))
2 oveq2 7409 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทo ๐ด))
32mpteq2dv 5240 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)))
4 rdgeq1 8406 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)) โ†’ rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o) = rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o))
53, 4syl 17 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o) = rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o))
65fveq1d 6883 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o)โ€˜๐‘ง) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ง))
71, 6ifbieq2d 4546 . 2 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ if(๐‘ฆ = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ง), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o)โ€˜๐‘ง)) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ง), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ง)))
8 difeq2 4108 . . 3 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (1o โˆ– ๐‘ง) = (1o โˆ– ๐ต))
9 fveq2 6881 . . 3 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ง) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
108, 9ifeq12d 4541 . 2 (๐‘ง = ๐ต โ†’ if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ง), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ง)) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
11 df-oexp 8467 . 2 โ†‘o = (๐‘ฆ โˆˆ On, ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ if(๐‘ฆ = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ง), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o)โ€˜๐‘ง)))
12 1oex 8471 . . . 4 1o โˆˆ V
1312difexi 5318 . . 3 (1o โˆ– ๐ต) โˆˆ V
14 fvex 6894 . . 3 (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆˆ V
1513, 14ifex 4570 . 2 if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)) โˆˆ V
167, 10, 11, 15ovmpo 7560 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3466   โˆ– cdif 3937  โˆ…c0 4314  ifcif 4520   โ†ฆ cmpt 5221  Oncon0 6354  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  reccrdg 8404  1oc1o 8454   ยทo comu 8459   โ†‘o coe 8460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oexp 8467
This theorem is referenced by:  oevn0  8510  oe0m  8513
  Copyright terms: Public domain W3C validator