MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oev 8464
Description: Value of ordinal exponentiation. (Contributed by NM, 30-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
oev ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem oev
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2737 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฆ = โˆ… โ†” ๐ด = โˆ…))
2 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทo ๐ด))
32mpteq2dv 5211 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)))
4 rdgeq1 8361 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)) โ†’ rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o) = rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o))
53, 4syl 17 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o) = rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o))
65fveq1d 6848 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o)โ€˜๐‘ง) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ง))
71, 6ifbieq2d 4516 . 2 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ if(๐‘ฆ = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ง), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o)โ€˜๐‘ง)) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ง), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ง)))
8 difeq2 4080 . . 3 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (1o โˆ– ๐‘ง) = (1o โˆ– ๐ต))
9 fveq2 6846 . . 3 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ง) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
108, 9ifeq12d 4511 . 2 (๐‘ง = ๐ต โ†’ if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ง), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ง)) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
11 df-oexp 8422 . 2 โ†‘o = (๐‘ฆ โˆˆ On, ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ if(๐‘ฆ = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ง), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o)โ€˜๐‘ง)))
12 1oex 8426 . . . 4 1o โˆˆ V
1312difexi 5289 . . 3 (1o โˆ– ๐ต) โˆˆ V
14 fvex 6859 . . 3 (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆˆ V
1513, 14ifex 4540 . 2 if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)) โˆˆ V
167, 10, 11, 15ovmpo 7519 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447   โˆ– cdif 3911  โˆ…c0 4286  ifcif 4490   โ†ฆ cmpt 5192  Oncon0 6321  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  reccrdg 8359  1oc1o 8409   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oexp 8422
This theorem is referenced by:  oevn0  8465  oe0m  8468
  Copyright terms: Public domain W3C validator