MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oev 8528
Description: Value of ordinal exponentiation. (Contributed by NM, 30-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
oev ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem oev
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2731 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฆ = โˆ… โ†” ๐ด = โˆ…))
2 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทo ๐ด))
32mpteq2dv 5244 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)))
4 rdgeq1 8425 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)) โ†’ rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o) = rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o))
53, 4syl 17 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o) = rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o))
65fveq1d 6893 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o)โ€˜๐‘ง) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ง))
71, 6ifbieq2d 4550 . 2 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ if(๐‘ฆ = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ง), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o)โ€˜๐‘ง)) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ง), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ง)))
8 difeq2 4112 . . 3 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (1o โˆ– ๐‘ง) = (1o โˆ– ๐ต))
9 fveq2 6891 . . 3 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ง) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
108, 9ifeq12d 4545 . 2 (๐‘ง = ๐ต โ†’ if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ง), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ง)) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
11 df-oexp 8486 . 2 โ†‘o = (๐‘ฆ โˆˆ On, ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ if(๐‘ฆ = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ง), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o)โ€˜๐‘ง)))
12 1oex 8490 . . . 4 1o โˆˆ V
1312difexi 5324 . . 3 (1o โˆ– ๐ต) โˆˆ V
14 fvex 6904 . . 3 (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆˆ V
1513, 14ifex 4574 . 2 if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)) โˆˆ V
167, 10, 11, 15ovmpo 7575 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3469   โˆ– cdif 3941  โˆ…c0 4318  ifcif 4524   โ†ฆ cmpt 5225  Oncon0 6363  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  reccrdg 8423  1oc1o 8473   ยทo comu 8478   โ†‘o coe 8479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oexp 8486
This theorem is referenced by:  oevn0  8529  oe0m  8532
  Copyright terms: Public domain W3C validator