MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oev 8513
Description: Value of ordinal exponentiation. (Contributed by NM, 30-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
oev ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem oev
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2736 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฆ = โˆ… โ†” ๐ด = โˆ…))
2 oveq2 7416 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทo ๐ด))
32mpteq2dv 5250 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)))
4 rdgeq1 8410 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)) โ†’ rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o) = rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o))
53, 4syl 17 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o) = rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o))
65fveq1d 6893 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o)โ€˜๐‘ง) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ง))
71, 6ifbieq2d 4554 . 2 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ if(๐‘ฆ = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ง), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o)โ€˜๐‘ง)) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ง), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ง)))
8 difeq2 4116 . . 3 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (1o โˆ– ๐‘ง) = (1o โˆ– ๐ต))
9 fveq2 6891 . . 3 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ง) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
108, 9ifeq12d 4549 . 2 (๐‘ง = ๐ต โ†’ if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ง), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ง)) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
11 df-oexp 8471 . 2 โ†‘o = (๐‘ฆ โˆˆ On, ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ if(๐‘ฆ = โˆ…, (1o โˆ– ๐‘ง), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ)), 1o)โ€˜๐‘ง)))
12 1oex 8475 . . . 4 1o โˆˆ V
1312difexi 5328 . . 3 (1o โˆ– ๐ต) โˆˆ V
14 fvex 6904 . . 3 (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) โˆˆ V
1513, 14ifex 4578 . 2 if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)) โˆˆ V
167, 10, 11, 15ovmpo 7567 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = if(๐ด = โˆ…, (1o โˆ– ๐ต), (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474   โˆ– cdif 3945  โˆ…c0 4322  ifcif 4528   โ†ฆ cmpt 5231  Oncon0 6364  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  reccrdg 8408  1oc1o 8458   ยทo comu 8463   โ†‘o coe 8464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oexp 8471
This theorem is referenced by:  oevn0  8514  oe0m  8517
  Copyright terms: Public domain W3C validator