![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > omv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
omv | โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq2 7422 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐ด โ (๐ฅ +o ๐ฆ) = (๐ฅ +o ๐ด)) | |
2 | 1 | mpteq2dv 5244 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ด โ (๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)) = (๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด))) |
3 | rdgeq1 8425 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)) = (๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)) โ rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)), โ ) = rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )) | |
4 | 2, 3 | syl 17 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ด โ rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)), โ ) = rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )) |
5 | 4 | fveq1d 6893 | . 2 โข (๐ฆ = ๐ด โ (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)), โ )โ๐ง) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ง)) |
6 | fveq2 6891 | . 2 โข (๐ง = ๐ต โ (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ง) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต)) | |
7 | df-omul 8485 | . 2 โข ยทo = (๐ฆ โ On, ๐ง โ On โฆ (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)), โ )โ๐ง)) | |
8 | fvex 6904 | . 2 โข (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต) โ V | |
9 | 5, 6, 7, 8 | ovmpo 7575 | 1 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 Vcvv 3469 โ c0 4318 โฆ cmpt 5225 Oncon0 6363 โcfv 6542 (class class class)co 7414 reccrdg 8423 +o coa 8477 ยทo comu 8478 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pr 5423 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-nul 4319 df-if 4525 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-id 5570 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fv 6550 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-omul 8485 |
This theorem is referenced by: om0 8531 omsuc 8540 onmsuc 8543 omlim 8547 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |