![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > omv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
omv | โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq2 7409 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐ด โ (๐ฅ +o ๐ฆ) = (๐ฅ +o ๐ด)) | |
2 | 1 | mpteq2dv 5240 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ด โ (๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)) = (๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด))) |
3 | rdgeq1 8406 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)) = (๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)) โ rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)), โ ) = rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )) | |
4 | 2, 3 | syl 17 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ด โ rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)), โ ) = rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )) |
5 | 4 | fveq1d 6883 | . 2 โข (๐ฆ = ๐ด โ (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)), โ )โ๐ง) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ง)) |
6 | fveq2 6881 | . 2 โข (๐ง = ๐ต โ (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ง) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต)) | |
7 | df-omul 8466 | . 2 โข ยทo = (๐ฆ โ On, ๐ง โ On โฆ (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)), โ )โ๐ง)) | |
8 | fvex 6894 | . 2 โข (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต) โ V | |
9 | 5, 6, 7, 8 | ovmpo 7560 | 1 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3466 โ c0 4314 โฆ cmpt 5221 Oncon0 6354 โcfv 6533 (class class class)co 7401 reccrdg 8404 +o coa 8458 ยทo comu 8459 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pr 5417 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-nul 4315 df-if 4521 df-sn 4621 df-pr 4623 df-op 4627 df-uni 4900 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-id 5564 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6290 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fv 6541 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-omul 8466 |
This theorem is referenced by: om0 8512 omsuc 8521 onmsuc 8524 omlim 8528 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |