MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omv 8526
Description: Value of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
omv ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem omv
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7422 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ +o ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ +o ๐ด))
21mpteq2dv 5244 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)))
3 rdgeq1 8425 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)) โ†’ rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐‘ฆ)), โˆ…) = rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…))
42, 3syl 17 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐‘ฆ)), โˆ…) = rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…))
54fveq1d 6893 . 2 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐‘ฆ)), โˆ…)โ€˜๐‘ง) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐‘ง))
6 fveq2 6891 . 2 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐‘ง) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
7 df-omul 8485 . 2 ยทo = (๐‘ฆ โˆˆ On, ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐‘ฆ)), โˆ…)โ€˜๐‘ง))
8 fvex 6904 . 2 (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต) โˆˆ V
95, 6, 7, 8ovmpo 7575 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3469  โˆ…c0 4318   โ†ฆ cmpt 5225  Oncon0 6363  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  reccrdg 8423   +o coa 8477   ยทo comu 8478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-omul 8485
This theorem is referenced by:  om0  8531  omsuc  8540  onmsuc  8543  omlim  8547
  Copyright terms: Public domain W3C validator