![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > omv | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
omv | โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq2 7369 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐ด โ (๐ฅ +o ๐ฆ) = (๐ฅ +o ๐ด)) | |
2 | 1 | mpteq2dv 5211 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ด โ (๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)) = (๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด))) |
3 | rdgeq1 8361 | . . . 4 โข ((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)) = (๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)) โ rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)), โ ) = rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )) | |
4 | 2, 3 | syl 17 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ด โ rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)), โ ) = rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )) |
5 | 4 | fveq1d 6848 | . 2 โข (๐ฆ = ๐ด โ (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)), โ )โ๐ง) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ง)) |
6 | fveq2 6846 | . 2 โข (๐ง = ๐ต โ (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ง) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต)) | |
7 | df-omul 8421 | . 2 โข ยทo = (๐ฆ โ On, ๐ง โ On โฆ (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ฆ)), โ )โ๐ง)) | |
8 | fvex 6859 | . 2 โข (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต) โ V | |
9 | 5, 6, 7, 8 | ovmpo 7519 | 1 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 Vcvv 3447 โ c0 4286 โฆ cmpt 5192 Oncon0 6321 โcfv 6500 (class class class)co 7361 reccrdg 8359 +o coa 8413 ยทo comu 8414 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pr 5388 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4287 df-if 4491 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-id 5535 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fv 6508 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-omul 8421 |
This theorem is referenced by: om0 8467 omsuc 8476 onmsuc 8479 omlim 8483 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |