MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omv 8507
Description: Value of ordinal multiplication. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
omv ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem omv
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7409 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ +o ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ +o ๐ด))
21mpteq2dv 5240 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)))
3 rdgeq1 8406 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)) โ†’ rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐‘ฆ)), โˆ…) = rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…))
42, 3syl 17 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐‘ฆ)), โˆ…) = rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…))
54fveq1d 6883 . 2 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐‘ฆ)), โˆ…)โ€˜๐‘ง) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐‘ง))
6 fveq2 6881 . 2 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐‘ง) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
7 df-omul 8466 . 2 ยทo = (๐‘ฆ โˆˆ On, ๐‘ง โˆˆ On โ†ฆ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐‘ฆ)), โˆ…)โ€˜๐‘ง))
8 fvex 6894 . 2 (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต) โˆˆ V
95, 6, 7, 8ovmpo 7560 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3466  โˆ…c0 4314   โ†ฆ cmpt 5221  Oncon0 6354  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  reccrdg 8404   +o coa 8458   ยทo comu 8459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-omul 8466
This theorem is referenced by:  om0  8512  omsuc  8521  onmsuc  8524  omlim  8528
  Copyright terms: Public domain W3C validator