MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oecl 8536
Description: Closure law for ordinal exponentiation. Remark 2.8 of [Schloeder] p. 5. (Contributed by NM, 1-Jan-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
oecl ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)

Proof of Theorem oecl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7416 . . . . . . . 8 (๐ต = โˆ… โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o โˆ…))
2 oe0m0 8519 . . . . . . . . 9 (โˆ… โ†‘o โˆ…) = 1o
3 1on 8477 . . . . . . . . 9 1o โˆˆ On
42, 3eqeltri 2829 . . . . . . . 8 (โˆ… โ†‘o โˆ…) โˆˆ On
51, 4eqeltrdi 2841 . . . . . . 7 (๐ต = โˆ… โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
65adantl 482 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
7 oe0m1 8520 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…))
87biimpa 477 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…)
9 0elon 6418 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ On
108, 9eqeltrdi 2841 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
1110adantll 712 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
126, 11oe0lem 8512 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
1312anidms 567 . . . 4 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
14 oveq1 7415 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o ๐ต))
1514eleq1d 2818 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On โ†” (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On))
1613, 15imbitrrid 245 . . 3 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On))
1716impcom 408 . 2 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
18 oveq2 7416 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o โˆ…))
1918eleq1d 2818 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด โ†‘o โˆ…) โˆˆ On))
20 oveq2 7416 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
2120eleq1d 2818 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On))
22 oveq2 7416 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ))
2322eleq1d 2818 . . . . . 6 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On))
24 oveq2 7416 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o ๐ต))
2524eleq1d 2818 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On))
26 oe0 8521 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
2726, 3eqeltrdi 2841 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) โˆˆ On)
2827adantr 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) โˆˆ On)
29 omcl 8535 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โˆˆ On)
3029expcom 414 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โˆˆ On))
3130adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โˆˆ On))
32 oesuc 8526 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด))
3332eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†” ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โˆˆ On))
3431, 33sylibrd 258 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On))
3534expcom 414 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On)))
3635adantrd 492 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On)))
37 vex 3478 . . . . . . . . 9 ๐‘ฅ โˆˆ V
38 iunon 8338 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
3937, 38mpan 688 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
40 oelim 8533 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
4137, 40mpanlr1 704 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
4241anasss 467 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง (Lim ๐‘ฅ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
4342an12s 647 . . . . . . . . 9 ((Lim ๐‘ฅ โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
4443eleq1d 2818 . . . . . . . 8 ((Lim ๐‘ฅ โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On))
4539, 44imbitrrid 245 . . . . . . 7 ((Lim ๐‘ฅ โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On))
4645ex 413 . . . . . 6 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On)))
4719, 21, 23, 25, 28, 36, 46tfinds3 7853 . . . . 5 (๐ต โˆˆ On โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On))
4847expd 416 . . . 4 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)))
4948com12 32 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)))
5049imp31 418 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
5117, 50oe0lem 8512 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474  โˆ…c0 4322  โˆช ciun 4997  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  suc csuc 6366  (class class class)co 7408  1oc1o 8458   ยทo comu 8463   โ†‘o coe 8464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-oexp 8471
This theorem is referenced by:  oen0  8585  oeordi  8586  oeord  8587  oecan  8588  oeword  8589  oewordri  8591  oeworde  8592  oeordsuc  8593  oeoalem  8595  oeoa  8596  oeoelem  8597  oeoe  8598  oelimcl  8599  oeeulem  8600  oeeui  8601  oaabs2  8647  omabs  8649  cantnfle  9665  cantnflt  9666  cantnfp1  9675  cantnflem1d  9682  cantnflem1  9683  cantnflem2  9684  cantnflem3  9685  cantnflem4  9686  cantnf  9687  oemapwe  9688  cantnffval2  9689  cnfcomlem  9693  cnfcom  9694  cnfcom3lem  9697  cnfcom3  9698  infxpenc  10012  onexoegt  41983  oaomoecl  42018  oenassex  42058  cantnftermord  42060  cantnfresb  42064  oacl2g  42070  omabs2  42072  omcl2  42073  ofoaf  42095  ofoafo  42096
  Copyright terms: Public domain W3C validator