MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oecl 8487
Description: Closure law for ordinal exponentiation. Remark 2.8 of [Schloeder] p. 5. (Contributed by NM, 1-Jan-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
oecl ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)

Proof of Theorem oecl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (๐ต = โˆ… โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o โˆ…))
2 oe0m0 8470 . . . . . . . . 9 (โˆ… โ†‘o โˆ…) = 1o
3 1on 8428 . . . . . . . . 9 1o โˆˆ On
42, 3eqeltri 2830 . . . . . . . 8 (โˆ… โ†‘o โˆ…) โˆˆ On
51, 4eqeltrdi 2842 . . . . . . 7 (๐ต = โˆ… โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
65adantl 483 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
7 oe0m1 8471 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…))
87biimpa 478 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…)
9 0elon 6375 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ On
108, 9eqeltrdi 2842 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
1110adantll 713 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
126, 11oe0lem 8463 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
1312anidms 568 . . . 4 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
14 oveq1 7368 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o ๐ต))
1514eleq1d 2819 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On โ†” (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On))
1613, 15imbitrrid 245 . . 3 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On))
1716impcom 409 . 2 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
18 oveq2 7369 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o โˆ…))
1918eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด โ†‘o โˆ…) โˆˆ On))
20 oveq2 7369 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
2120eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On))
22 oveq2 7369 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ))
2322eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On))
24 oveq2 7369 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o ๐ต))
2524eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On))
26 oe0 8472 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
2726, 3eqeltrdi 2842 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) โˆˆ On)
2827adantr 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) โˆˆ On)
29 omcl 8486 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โˆˆ On)
3029expcom 415 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โˆˆ On))
3130adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โˆˆ On))
32 oesuc 8477 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด))
3332eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†” ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โˆˆ On))
3431, 33sylibrd 259 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On))
3534expcom 415 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On)))
3635adantrd 493 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On)))
37 vex 3451 . . . . . . . . 9 ๐‘ฅ โˆˆ V
38 iunon 8289 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
3937, 38mpan 689 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
40 oelim 8484 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
4137, 40mpanlr1 705 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
4241anasss 468 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง (Lim ๐‘ฅ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
4342an12s 648 . . . . . . . . 9 ((Lim ๐‘ฅ โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
4443eleq1d 2819 . . . . . . . 8 ((Lim ๐‘ฅ โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On))
4539, 44imbitrrid 245 . . . . . . 7 ((Lim ๐‘ฅ โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On))
4645ex 414 . . . . . 6 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On)))
4719, 21, 23, 25, 28, 36, 46tfinds3 7805 . . . . 5 (๐ต โˆˆ On โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On))
4847expd 417 . . . 4 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)))
4948com12 32 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)))
5049imp31 419 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
5117, 50oe0lem 8463 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  Vcvv 3447  โˆ…c0 4286  โˆช ciun 4958  Oncon0 6321  Lim wlim 6322  suc csuc 6323  (class class class)co 7361  1oc1o 8409   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-oexp 8422
This theorem is referenced by:  oen0  8537  oeordi  8538  oeord  8539  oecan  8540  oeword  8541  oewordri  8543  oeworde  8544  oeordsuc  8545  oeoalem  8547  oeoa  8548  oeoelem  8549  oeoe  8550  oelimcl  8551  oeeulem  8552  oeeui  8553  oaabs2  8599  omabs  8601  cantnfle  9615  cantnflt  9616  cantnfp1  9625  cantnflem1d  9632  cantnflem1  9633  cantnflem2  9634  cantnflem3  9635  cantnflem4  9636  cantnf  9637  oemapwe  9638  cantnffval2  9639  cnfcomlem  9643  cnfcom  9644  cnfcom3lem  9647  cnfcom3  9648  infxpenc  9962  onexoegt  41625  oaomoecl  41660  oenassex  41700  cantnftermord  41702  cantnfresb  41706  oacl2g  41712  omabs2  41714  omcl2  41715  ofoaf  41718  ofoafo  41719
  Copyright terms: Public domain W3C validator