MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oecl 8537
Description: Closure law for ordinal exponentiation. Remark 2.8 of [Schloeder] p. 5. (Contributed by NM, 1-Jan-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
oecl ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)

Proof of Theorem oecl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐ต = โˆ… โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o โˆ…))
2 oe0m0 8520 . . . . . . . . 9 (โˆ… โ†‘o โˆ…) = 1o
3 1on 8478 . . . . . . . . 9 1o โˆˆ On
42, 3eqeltri 2830 . . . . . . . 8 (โˆ… โ†‘o โˆ…) โˆˆ On
51, 4eqeltrdi 2842 . . . . . . 7 (๐ต = โˆ… โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
65adantl 483 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
7 oe0m1 8521 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…))
87biimpa 478 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) = โˆ…)
9 0elon 6419 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ On
108, 9eqeltrdi 2842 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
1110adantll 713 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
126, 11oe0lem 8513 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
1312anidms 568 . . . 4 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
14 oveq1 7416 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (โˆ… โ†‘o ๐ต))
1514eleq1d 2819 . . . 4 (๐ด = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On โ†” (โˆ… โ†‘o ๐ต) โˆˆ On))
1613, 15imbitrrid 245 . . 3 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On))
1716impcom 409 . 2 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
18 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o โˆ…))
1918eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด โ†‘o โˆ…) โˆˆ On))
20 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
2120eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On))
22 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ))
2322eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On))
24 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o ๐ต))
2524eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On))
26 oe0 8522 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
2726, 3eqeltrdi 2842 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) โˆˆ On)
2827adantr 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) โˆˆ On)
29 omcl 8536 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โˆˆ On)
3029expcom 415 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โˆˆ On))
3130adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โˆˆ On))
32 oesuc 8527 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด))
3332eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†” ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โˆˆ On))
3431, 33sylibrd 259 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On))
3534expcom 415 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On)))
3635adantrd 493 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ On)))
37 vex 3479 . . . . . . . . 9 ๐‘ฅ โˆˆ V
38 iunon 8339 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ V โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
3937, 38mpan 689 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On)
40 oelim 8534 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง Lim ๐‘ฅ)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
4137, 40mpanlr1 705 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐‘ฅ) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
4241anasss 468 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ On โˆง (Lim ๐‘ฅ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
4342an12s 648 . . . . . . . . 9 ((Lim ๐‘ฅ โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด)) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
4443eleq1d 2819 . . . . . . . 8 ((Lim ๐‘ฅ โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†” โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On))
4539, 44imbitrrid 245 . . . . . . 7 ((Lim ๐‘ฅ โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On))
4645ex 414 . . . . . 6 (Lim ๐‘ฅ โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ On)))
4719, 21, 23, 25, 28, 36, 46tfinds3 7854 . . . . 5 (๐ต โˆˆ On โ†’ ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On))
4847expd 417 . . . 4 (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)))
4948com12 32 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)))
5049imp31 419 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
5117, 50oe0lem 8513 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  Vcvv 3475  โˆ…c0 4323  โˆช ciun 4998  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  suc csuc 6367  (class class class)co 7409  1oc1o 8459   ยทo comu 8464   โ†‘o coe 8465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-oexp 8472
This theorem is referenced by:  oen0  8586  oeordi  8587  oeord  8588  oecan  8589  oeword  8590  oewordri  8592  oeworde  8593  oeordsuc  8594  oeoalem  8596  oeoa  8597  oeoelem  8598  oeoe  8599  oelimcl  8600  oeeulem  8601  oeeui  8602  oaabs2  8648  omabs  8650  cantnfle  9666  cantnflt  9667  cantnfp1  9676  cantnflem1d  9683  cantnflem1  9684  cantnflem2  9685  cantnflem3  9686  cantnflem4  9687  cantnf  9688  oemapwe  9689  cantnffval2  9690  cnfcomlem  9694  cnfcom  9695  cnfcom3lem  9698  cnfcom3  9699  infxpenc  10013  onexoegt  41993  oaomoecl  42028  oenassex  42068  cantnftermord  42070  cantnfresb  42074  oacl2g  42080  omabs2  42082  omcl2  42083  ofoaf  42105  ofoafo  42106
  Copyright terms: Public domain W3C validator