Theorem opfusgr 29919

Description: A finite simple graph represented as ordered pair. (Contributed by AV, 23-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opfusgr	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ↔ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)))

Proof of Theorem opfusgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
2	1	isfusgr 29914	. 2 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ↔ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
3		opvtxfv 29597	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
4	3	eleq1d 2849	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ((Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝑉 ∈ Fin))
5	4	anbi2d 642	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin) ↔ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)))
6	2, 5	bitrid 286	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ↔ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4838  ‘cfv 6547  Fincfn 8987  Vtxcvtx 29589  USGraphcusgr 29745  FinUSGraphcfusgr 29912

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fv 6555  df-1st 8011  df-vtx 29591  df-fusgr 29913

This theorem is used by:  fusgrfis  29926