Theorem opfusgr 27739

Description: A finite simple graph represented as ordered pair. (Contributed by AV, 23-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opfusgr	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ↔ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)))

Proof of Theorem opfusgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
2	1	isfusgr 27734	. 2 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ↔ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin))
3		opvtxfv 27423	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
4	3	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ((Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin ↔ 𝑉 ∈ Fin))
5	4	anbi2d 630	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) ∈ Fin) ↔ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)))
6	2, 5	bitrid 283	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ FinUSGraph ↔ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2104  ⟨cop 4571  ‘cfv 6458  Fincfn 8764  Vtxcvtx 27415  USGraphcusgr 27568  FinUSGraphcfusgr 27732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3333  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fv 6466  df-1st 7863  df-vtx 27417  df-fusgr 27733

This theorem is referenced by:  fusgrfis  27746