Theorem usgredgffibi 29532

Description: The number of edges in a simple graph is finite iff its edge function is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.) (Revised by AV, 22-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredgffibi.I	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
usgredgffibi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgredgffibi	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐼 ∈ Fin))

Proof of Theorem usgredgffibi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgredgffibi.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2		edgval 29257	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
3		usgredgffibi.I	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	3	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐼
5	4	rneqi 5914	. . . 4 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐼
6	1, 2, 5	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ 𝐸 = ran 𝐼
7	6	eleq1i 2854	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Fin ↔ ran 𝐼 ∈ Fin)
8	3	fvexi 6881	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ V
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10	9, 3	usgrfs 29365	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐼:dom 𝐼–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11		f1vrnfibi 9283	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐼:dom 𝐼–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}) → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran 𝐼 ∈ Fin))
12	8, 10, 11	sylancr 596	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran 𝐼 ∈ Fin))
13	7, 12	bitr4id 292	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐼 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  {crab 3415  Vcvv 3455  𝒫 cpw 4556  dom cdm 5648  ran crn 5649  –1-1→wf1 6518  ‘cfv 6521  Fincfn 8927  2c2 12282  ♯chash 14353  Vtxcvtx 29204  iEdgciedg 29205  Edgcedg 29255  USGraphcusgr 29357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-fz 13523  df-hash 14354  df-edg 29256  df-usgr 29359

This theorem is referenced by:  fusgrfisbase  29536  fusgrfisstep  29537  fusgrfis  29538  fusgrfupgrfs  29539  vtxdgfusgrf  29705