Theorem usgredgffibi 29935

Description: The number of edges in a simple graph is finite iff its edge function is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.) (Revised by AV, 22-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredgffibi.I	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
usgredgffibi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgredgffibi	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐼 ∈ Fin))

Proof of Theorem usgredgffibi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgredgffibi.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2		edgval 29657	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
3		usgredgffibi.I	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	3	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐼
5	4	rneqi 5926	. . . 4 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐼
6	1, 2, 5	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ 𝐸 = ran 𝐼
7	6	eleq1i 2855	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Fin ↔ ran 𝐼 ∈ Fin)
8	3	fvexi 6922	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ V
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10	9, 3	usgrfs 29768	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐼:dom 𝐼⟶1-1{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11		f1vrnfibi 9359	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶1-1{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}) → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran 𝐼 ∈ Fin))
12	8, 10, 11	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran 𝐼 ∈ Fin))
13	7, 12	bitr4id 293	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐼 ∈ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454  𝒫 cpw 4560  dom cdm 5655  ran crn 5656  ⟶1-1wf1 6555  ‘cfv 6558  Fincfn 9001  2c2 12424  ♯chash 14501  Vtxcvtx 29604  iEdgciedg 29605  Edgcedg 29655  USGraphcusgr 29760

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-hash 14502  df-edg 29656  df-usgr 29762

This theorem is used by:  fusgrfisbase  29939  fusgrfisstep  29940  fusgrfis  29941  fusgrfupgrfs  29942  vtxdgfusgrf  30108