MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgredgffibi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgredgffibi 28321
Description: The number of edges in a simple graph is finite iff its edge function is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.) (Revised by AV, 22-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
usgredgffibi.I 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
usgredgffibi.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgredgffibi (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐼 ∈ Fin))

Proof of Theorem usgredgffibi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgredgffibi.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2 edgval 28049 . . . 4 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
3 usgredgffibi.I . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
43eqcomi 2742 . . . . 5 (iEdg‘𝐺) = 𝐼
54rneqi 5896 . . . 4 ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐼
61, 2, 53eqtri 2765 . . 3 𝐸 = ran 𝐼
76eleq1i 2825 . 2 (𝐸 ∈ Fin ↔ ran 𝐼 ∈ Fin)
83fvexi 6860 . . 3 𝐼 ∈ V
9 eqid 2733 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
109, 3usgrfs 28157 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐼:dom 𝐼1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11 f1vrnfibi 9287 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐼:dom 𝐼1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}) → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran 𝐼 ∈ Fin))
128, 10, 11sylancr 588 . 2 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran 𝐼 ∈ Fin))
137, 12bitr4id 290 1 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐼 ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447  𝒫 cpw 4564  dom cdm 5637  ran crn 5638  1-1wf1 6497  cfv 6500  Fincfn 8889  2c2 12216  chash 14239  Vtxcvtx 27996  iEdgciedg 27997  Edgcedg 28047  USGraphcusgr 28149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-hash 14240  df-edg 28048  df-usgr 28151
This theorem is referenced by:  fusgrfisbase  28325  fusgrfisstep  28326  fusgrfis  28327  fusgrfupgrfs  28328  vtxdgfusgrf  28494
  Copyright terms: Public domain W3C validator