Theorem usgredgffibi 26824

Description: The number of edges in a simple graph is finite iff its edge function is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.) (Revised by AV, 22-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredgffibi.I	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
usgredgffibi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgredgffibi	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐼 ∈ Fin))

Proof of Theorem usgredgffibi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgredgffibi.I	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	fvexi 6510	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ V
3		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4	3, 1	usgrfs 26660	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐼:dom 𝐼–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5		f1vrnfibi 8602	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐼:dom 𝐼–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}) → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran 𝐼 ∈ Fin))
6	2, 4, 5	sylancr 579	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran 𝐼 ∈ Fin))
7		usgredgffibi.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8		edgval 26552	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
9	1	eqcomi 2780	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐼
10	9	rneqi 5647	. . . 4 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐼
11	7, 8, 10	3eqtri 2799	. . 3 ⊢ 𝐸 = ran 𝐼
12	11	eleq1i 2849	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Fin ↔ ran 𝐼 ∈ Fin)
13	6, 12	syl6rbbr 282	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐸 ∈ Fin ↔ 𝐼 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  {crab 3085  Vcvv 3408  𝒫 cpw 4416  dom cdm 5403  ran crn 5404  –1-1→wf1 6182  ‘cfv 6185  Fincfn 8304  2c2 11493  ♯chash 13503  Vtxcvtx 26499  iEdgciedg 26500  Edgcedg 26550  USGraphcusgr 26652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-hash 13504  df-edg 26551  df-usgr 26654

This theorem is referenced by:  fusgrfisbase  26828  fusgrfisstep  26829  fusgrfis  26830  fusgrfupgrfs  26831  vtxdgfusgrf  26997