MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppnid 28028
Description: The "opposite to a line" relation is irreflexive. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hpg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hpg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hpg.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
opphl.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
opphl.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
oppnid.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
Assertion
Ref Expression
oppnid (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴𝑂𝐴)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,𝑏   𝐼,π‘Ž,𝑏   𝑃,π‘Ž,𝑏   𝑑,𝐴   𝑑,𝐷   𝑑,𝐺   𝑑,𝐿   𝑑,𝐼   𝑑,𝑂   𝑑,𝑃   πœ‘,𝑑   𝑑, βˆ’   𝑑,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)   𝐺(π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘Ž,𝑏)   βˆ’ (π‘Ž,𝑏)   𝑂(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem oppnid
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 hpg.d . . . . 5 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 hpg.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 opphl.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 oppnid.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
76ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 opphl.l . . . . . 6 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
9 opphl.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
109ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
11 simplr 768 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
121, 8, 3, 5, 10, 11tglnpt 27831 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
13 simpr 486 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
141, 2, 3, 5, 7, 12, 13axtgbtwnid 27748 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) β†’ 𝐴 = 𝑑)
1514, 11eqeltrd 2834 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
16 hpg.o . . . . 5 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
171, 2, 3, 16, 6, 6islnopp 28021 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑂𝐴 ↔ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴))))
1817simplbda 501 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
1915, 18r19.29a 3163 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
2017simprbda 500 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) β†’ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷))
2120simpld 496 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
2219, 21pm2.65da 816 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴𝑂𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   class class class wbr 5149  {copab 5211  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27709  Itvcitv 27715  LineGclng 27716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-trkgb 27731  df-trkg 27735
This theorem is referenced by:  lnoppnhpg  28046
  Copyright terms: Public domain W3C validator