MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppnid 27730
Description: The "opposite to a line" relation is irreflexive. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hpg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hpg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hpg.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
opphl.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
opphl.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
oppnid.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
Assertion
Ref Expression
oppnid (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴𝑂𝐴)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,𝑏   𝐼,π‘Ž,𝑏   𝑃,π‘Ž,𝑏   𝑑,𝐴   𝑑,𝐷   𝑑,𝐺   𝑑,𝐿   𝑑,𝐼   𝑑,𝑂   𝑑,𝑃   πœ‘,𝑑   𝑑, βˆ’   𝑑,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)   𝐺(π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘Ž,𝑏)   βˆ’ (π‘Ž,𝑏)   𝑂(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem oppnid
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 hpg.d . . . . 5 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 hpg.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 opphl.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 oppnid.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
76ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 opphl.l . . . . . 6 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
9 opphl.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
109ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
11 simplr 768 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
121, 8, 3, 5, 10, 11tglnpt 27533 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
13 simpr 486 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
141, 2, 3, 5, 7, 12, 13axtgbtwnid 27450 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) β†’ 𝐴 = 𝑑)
1514, 11eqeltrd 2838 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
16 hpg.o . . . . 5 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
171, 2, 3, 16, 6, 6islnopp 27723 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑂𝐴 ↔ ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴))))
1817simplbda 501 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
1915, 18r19.29a 3160 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
2017simprbda 500 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) β†’ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷))
2120simpld 496 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴𝑂𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
2219, 21pm2.65da 816 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴𝑂𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   βˆ– cdif 3912   class class class wbr 5110  {copab 5172  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  distcds 17149  TarskiGcstrkg 27411  Itvcitv 27417  LineGclng 27418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6453  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-trkgb 27433  df-trkg 27437
This theorem is referenced by:  lnoppnhpg  27748
  Copyright terms: Public domain W3C validator