MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglnpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglnpt 27800
Description: Lines are sets of points. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglng.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tglng.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
tglng.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tglnpt.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tglnpt.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglnpt.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
tglnpt (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem tglnpt
StepHypRef Expression
1 tglnpt.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
2 tglng.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
3 tglng.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
4 tglng.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
52, 3, 4tglnunirn 27799 . . 3 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ βˆͺ ran 𝐿 βŠ† 𝑃)
61, 5syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐿 βŠ† 𝑃)
7 tglnpt.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8 elssuni 4942 . . . 4 (𝐴 ∈ ran 𝐿 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran 𝐿)
97, 8syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ ran 𝐿)
10 tglnpt.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
119, 10sseldd 3984 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ βˆͺ ran 𝐿)
126, 11sseldd 3984 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  TarskiGcstrkg 27678  Itvcitv 27684  LineGclng 27685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-trkg 27704
This theorem is referenced by:  mirln  27927  mirln2  27928  perpcom  27964  perpneq  27965  ragperp  27968  foot  27973  footne  27974  footeq  27975  hlperpnel  27976  perprag  27977  perpdragALT  27978  perpdrag  27979  colperpexlem3  27983  oppne3  27994  oppcom  27995  oppnid  27997  opphllem1  27998  opphllem2  27999  opphllem3  28000  opphllem4  28001  opphllem5  28002  opphllem6  28003  oppperpex  28004  opphl  28005  outpasch  28006  lnopp2hpgb  28014  hpgerlem  28016  colopp  28020  colhp  28021  lmieu  28035  lmimid  28045  lnperpex  28054  trgcopy  28055  trgcopyeulem  28056
  Copyright terms: Public domain W3C validator