Theorem tglnpt 28772

Description: Lines are sets of points. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglng.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglng.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglng.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglnpt.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglnpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglnpt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
tglnpt	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem tglnpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglnpt.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
2		tglng.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		tglng.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglng.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5	2, 3, 4	tglnunirn 28771	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → ∪ ran 𝐿 ⊆ 𝑃)
6	1, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝐿 ⊆ 𝑃)
7		tglnpt.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		elssuni 4899	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran 𝐿 → 𝐴 ⊆ ∪ ran 𝐿)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ ran 𝐿)
10		tglnpt.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
11	9, 10	sseldd 3940	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∪ ran 𝐿)
12	6, 11	sseldd 3940	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ∪ cuni 4867  ran crn 5652  ‘cfv 6525  Basecbs 17257  TarskiGcstrkg 28650  Itvcitv 28656  LineGclng 28657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6481  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-trkg 28676

This theorem is referenced by:  tglnpt3  28877  mirln  28903  mirln2  28904  perpcom  28940  perpneq  28941  ragperp  28944  foot  28949  footne  28950  footeq  28951  hlperpnel  28952  perprag  28953  perpdragALT  28954  perpdrag  28955  colperpexlem3  28959  oppne3  28970  oppcom  28971  oppnid  28973  opphllem1  28974  opphllem2  28975  opphllem3  28976  opphllem4  28977  opphllem5  28978  opphllem6  28979  oppperpex  28980  opphl  28981  outpasch  28982  lnopp2hpgb  28990  hpgerlem  28992  colopp  28996  colhp  28997  elplnglnid  29009  lnincplng  29010  plngrotlem1  29013  lnssplnglem  29017  lmieu  29032  lmimid  29042  lnperpex  29051  trgcopy  29052  trgcopyeulem  29053