Theorem opphllem1 26838

Description: Lemma for opphl 26845. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphllem1.s	⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
opphllem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
opphllem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
opphllem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
opphllem1.o	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
opphllem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐷)
opphllem1.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆‘𝐶))
opphllem1.x	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑅)
opphllem1.y	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑅)
opphllem1.z	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))

Assertion

Ref	Expression
opphllem1	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡, −   𝑡,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑀(𝑎,𝑏)   − (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpg.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		hpg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hpg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		opphl.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		opphl.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7		opphl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		opphllem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		opphllem1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		opphllem1.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	oppne1 26832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
12		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
13		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
14	12, 13	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
15	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		opphllem1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		opphllem1.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
19	1, 5, 3, 7, 6, 18	tglnpt 26640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝑃)
21	8	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		opphllem1.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑅)
23	22	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑅)
24	23	necomd 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ≠ 𝐵)
25		opphllem1.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
26	25	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
27	1, 3, 5, 15, 20, 17, 21, 24, 26	btwnlng3 26712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐿𝐵))
28	1, 3, 5, 15, 17, 20, 21, 23, 27	lncom 26713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
29	6	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
30		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
31	18	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝐷)
32	1, 3, 5, 15, 17, 20, 23, 23, 29, 30, 31	tglinethru 26727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝑅))
33	28, 32	eleqtrrd 2841	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
34	14, 33	pm2.61dane 3029	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
35	11, 34	mtand 816	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	oppne2 26833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
37		opphllem1.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐷)
38	1, 5, 3, 7, 6, 37	tglnpt 26640	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
39		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
40		opphllem1.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
41	1, 2, 3, 5, 39, 7, 38, 40, 8	mirbtwn 26749	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝑆‘𝐴)𝐼𝐴))
42		opphllem1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆‘𝐶))
43	42	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐶) = 𝐴)
44	1, 2, 3, 5, 39, 7, 38, 40, 9, 43	mircom 26754	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = 𝐶)
45	44	oveq1d 7228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)𝐼𝐴) = (𝐶𝐼𝐴))
46	41, 45	eleqtrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
47	1, 2, 3, 7, 19, 9, 8, 16, 38, 25, 46	axtgpasch 26558	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑃 (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
48	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
49	19	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
50		simplrl 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝑃)
51		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
52	51	simprd 499	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅))
53		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑀 = 𝑅)
54	53	oveq1d 7228	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → (𝑀𝐼𝑅) = (𝑅𝐼𝑅))
55	52, 54	eleqtrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑅𝐼𝑅))
56	1, 2, 3, 48, 49, 50, 55	axtgbtwnid 26557	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 = 𝑡)
57	18	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐷)
58	56, 57	eqeltrrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝐷)
59	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
60	38	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ∈ 𝑃)
61	19	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
62		simplrl 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝑃)
63		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ≠ 𝑅)
64		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
65	64	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅))
66	1, 3, 5, 59, 60, 61, 62, 63, 65	btwnlng1 26710	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐿𝑅))
67	7	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
68	38	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ∈ 𝑃)
69	19	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
70		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ≠ 𝑅)
71	6	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
72	37	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ∈ 𝐷)
73	18	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐷)
74	1, 3, 5, 67, 68, 69, 70, 70, 71, 72, 73	tglinethru 26727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐷 = (𝑀𝐿𝑅))
75	74	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐷 = (𝑀𝐿𝑅))
76	66, 75	eleqtrrd 2841	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝐷)
77	58, 76	pm2.61dane 3029	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) → 𝑡 ∈ 𝐷)
78		simprrl 781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
79	47, 77, 78	reximssdv 3195	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
80	35, 36, 79	jca31 518	. 2 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
81	1, 2, 3, 4, 16, 9	islnopp 26830	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
82	80, 81	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3863   class class class wbr 5053  {copab 5115  ran crn 5552  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  distcds 16811  TarskiGcstrkg 26521  Itvcitv 26527  LineGclng 26528  pInvGcmir 26743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-s1 14153  df-s2 14413  df-s3 14414  df-trkgc 26539  df-trkgb 26540  df-trkgcb 26541  df-trkg 26544  df-cgrg 26602  df-mir 26744

This theorem is referenced by:  opphllem2  26839