Theorem opphllem1 27012

Description: Lemma for opphl 27019. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphllem1.s	⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
opphllem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
opphllem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
opphllem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
opphllem1.o	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
opphllem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐷)
opphllem1.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆‘𝐶))
opphllem1.x	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑅)
opphllem1.y	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑅)
opphllem1.z	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))

Assertion

Ref	Expression
opphllem1	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡, −   𝑡,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑀(𝑎,𝑏)   − (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpg.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		hpg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hpg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		opphl.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		opphl.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7		opphl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		opphllem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		opphllem1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		opphllem1.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	oppne1 27006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
13		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
14	12, 13	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
15	7	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		opphllem1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
17	16	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		opphllem1.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
19	1, 5, 3, 7, 6, 18	tglnpt 26814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝑃)
21	8	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		opphllem1.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑅)
23	22	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑅)
24	23	necomd 2998	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ≠ 𝐵)
25		opphllem1.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
26	25	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
27	1, 3, 5, 15, 20, 17, 21, 24, 26	btwnlng3 26886	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐿𝐵))
28	1, 3, 5, 15, 17, 20, 21, 23, 27	lncom 26887	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
29	6	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
30		simplr 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
31	18	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝐷)
32	1, 3, 5, 15, 17, 20, 23, 23, 29, 30, 31	tglinethru 26901	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝑅))
33	28, 32	eleqtrrd 2842	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
34	14, 33	pm2.61dane 3031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
35	11, 34	mtand 812	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	oppne2 27007	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
37		opphllem1.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐷)
38	1, 5, 3, 7, 6, 37	tglnpt 26814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
39		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
40		opphllem1.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
41	1, 2, 3, 5, 39, 7, 38, 40, 8	mirbtwn 26923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝑆‘𝐴)𝐼𝐴))
42		opphllem1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆‘𝐶))
43	42	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐶) = 𝐴)
44	1, 2, 3, 5, 39, 7, 38, 40, 9, 43	mircom 26928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = 𝐶)
45	44	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)𝐼𝐴) = (𝐶𝐼𝐴))
46	41, 45	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
47	1, 2, 3, 7, 19, 9, 8, 16, 38, 25, 46	axtgpasch 26732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑃 (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
48	7	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
49	19	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
50		simplrl 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝑃)
51		simplrr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
52	51	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅))
53		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑀 = 𝑅)
54	53	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → (𝑀𝐼𝑅) = (𝑅𝐼𝑅))
55	52, 54	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑅𝐼𝑅))
56	1, 2, 3, 48, 49, 50, 55	axtgbtwnid 26731	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 = 𝑡)
57	18	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐷)
58	56, 57	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝐷)
59	7	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
60	38	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ∈ 𝑃)
61	19	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
62		simplrl 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝑃)
63		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ≠ 𝑅)
64		simplrr 774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
65	64	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅))
66	1, 3, 5, 59, 60, 61, 62, 63, 65	btwnlng1 26884	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐿𝑅))
67	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
68	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ∈ 𝑃)
69	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
70		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ≠ 𝑅)
71	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
72	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ∈ 𝐷)
73	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐷)
74	1, 3, 5, 67, 68, 69, 70, 70, 71, 72, 73	tglinethru 26901	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐷 = (𝑀𝐿𝑅))
75	74	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐷 = (𝑀𝐿𝑅))
76	66, 75	eleqtrrd 2842	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝐷)
77	58, 76	pm2.61dane 3031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) → 𝑡 ∈ 𝐷)
78		simprrl 777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
79	47, 77, 78	reximssdv 3204	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
80	35, 36, 79	jca31 514	. 2 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
81	1, 2, 3, 4, 16, 9	islnopp 27004	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
82	80, 81	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880   class class class wbr 5070  {copab 5132  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  distcds 16897  TarskiGcstrkg 26693  Itvcitv 26699  LineGclng 26700  pInvGcmir 26917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-trkgc 26713  df-trkgb 26714  df-trkgcb 26715  df-trkg 26718  df-cgrg 26776  df-mir 26918

This theorem is referenced by:  opphllem2  27013