MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opphllem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem opphllem1 28506
Description: Lemma for opphl 28513. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hpg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hpg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hpg.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
opphl.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
opphl.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
opphllem1.s 𝑆 = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘€)
opphllem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
opphllem1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
opphllem1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
opphllem1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
opphllem1.o (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂𝐢)
opphllem1.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐷)
opphllem1.n (πœ‘ β†’ 𝐴 = (π‘†β€˜πΆ))
opphllem1.x (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝑅)
opphllem1.y (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝑅)
opphllem1.z (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
Assertion
Ref Expression
opphllem1 (πœ‘ β†’ 𝐡𝑂𝐢)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,𝑏   𝐼,π‘Ž,𝑏   𝑃,π‘Ž,𝑏   𝑑,𝐴   𝑑,𝐡   𝑑,𝐷   𝑑,𝑅   𝑑,𝐢   𝑑,𝐺   𝑑,𝐿   𝑑,𝐼   𝑑,𝑀   𝑑,𝑂   𝑑,𝑃   𝑑,𝑆   πœ‘,𝑑   𝑑, βˆ’   𝑑,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)   𝐡(π‘Ž,𝑏)   𝐢(π‘Ž,𝑏)   𝑅(π‘Ž,𝑏)   𝑆(π‘Ž,𝑏)   𝐺(π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘Ž,𝑏)   𝑀(π‘Ž,𝑏)   βˆ’ (π‘Ž,𝑏)   𝑂(π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem opphllem1
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 hpg.d . . . . 5 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 hpg.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 hpg.o . . . . 5 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
5 opphl.l . . . . 5 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
6 opphl.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7 opphl.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 opphllem1.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
9 opphllem1.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
10 opphllem1.o . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂𝐢)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10oppne1 28500 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
12 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐴 = 𝐡)
13 simplr 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
1412, 13eqeltrd 2827 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
157ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
16 opphllem1.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1716ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
18 opphllem1.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
191, 5, 3, 7, 6, 18tglnpt 28308 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
2019ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
218ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
22 opphllem1.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝑅)
2322ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐡 β‰  𝑅)
2423necomd 2990 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝑅 β‰  𝐡)
25 opphllem1.z . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
2625ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
271, 3, 5, 15, 20, 17, 21, 24, 26btwnlng3 28380 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝑅𝐿𝐡))
281, 3, 5, 15, 17, 20, 21, 23, 27lncom 28381 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝑅))
296ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
30 simplr 766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
3118ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
321, 3, 5, 15, 17, 20, 23, 23, 29, 30, 31tglinethru 28395 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐷 = (𝐡𝐿𝑅))
3328, 32eleqtrrd 2830 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
3414, 33pm2.61dane 3023 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
3511, 34mtand 813 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷)
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10oppne2 28501 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷)
37 opphllem1.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝐷)
381, 5, 3, 7, 6, 37tglnpt 28308 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
39 eqid 2726 . . . . . . 7 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
40 opphllem1.s . . . . . . 7 𝑆 = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘€)
411, 2, 3, 5, 39, 7, 38, 40, 8mirbtwn 28417 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ((π‘†β€˜π΄)𝐼𝐴))
42 opphllem1.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (π‘†β€˜πΆ))
4342eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜πΆ) = 𝐴)
441, 2, 3, 5, 39, 7, 38, 40, 9, 43mircom 28422 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π΄) = 𝐢)
4544oveq1d 7420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π΄)𝐼𝐴) = (𝐢𝐼𝐴))
4641, 45eleqtrd 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝐢𝐼𝐴))
471, 2, 3, 7, 19, 9, 8, 16, 38, 25, 46axtgpasch 28226 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑃 (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
487ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
4919ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
50 simplrl 774 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
51 simplrr 775 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) β†’ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
5251simprd 495 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) β†’ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅))
53 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) β†’ 𝑀 = 𝑅)
5453oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) β†’ (𝑀𝐼𝑅) = (𝑅𝐼𝑅))
5552, 54eleqtrd 2829 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) β†’ 𝑑 ∈ (𝑅𝐼𝑅))
561, 2, 3, 48, 49, 50, 55axtgbtwnid 28225 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) β†’ 𝑅 = 𝑑)
5718ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
5856, 57eqeltrrd 2828 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
597ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6038ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
6119ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
62 simplrl 774 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝑑 ∈ 𝑃)
63 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝑀 β‰  𝑅)
64 simplrr 775 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
6564simprd 495 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅))
661, 3, 5, 59, 60, 61, 62, 63, 65btwnlng1 28378 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝑑 ∈ (𝑀𝐿𝑅))
677adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6838adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
6919adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝑃)
70 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝑀 β‰  𝑅)
716adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7237adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝑀 ∈ 𝐷)
7318adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝐷)
741, 3, 5, 67, 68, 69, 70, 70, 71, 72, 73tglinethru 28395 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝐷 = (𝑀𝐿𝑅))
7574adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝐷 = (𝑀𝐿𝑅))
7666, 75eleqtrrd 2830 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 β‰  𝑅) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
7758, 76pm2.61dane 3023 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
78 simprrl 778 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∧ 𝑑 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) β†’ 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢))
7947, 77, 78reximssdv 3166 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢))
8035, 36, 79jca31 514 . 2 (πœ‘ β†’ ((Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢)))
811, 2, 3, 4, 16, 9islnopp 28498 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡𝑂𝐢 ↔ ((Β¬ 𝐡 ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐢 ∈ 𝐷) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (𝐡𝐼𝐢))))
8280, 81mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐡𝑂𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940   class class class wbr 5141  {copab 5203  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  distcds 17215  TarskiGcstrkg 28186  Itvcitv 28192  LineGclng 28193  pInvGcmir 28411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-trkgc 28207  df-trkgb 28208  df-trkgcb 28209  df-trkg 28212  df-cgrg 28270  df-mir 28412
This theorem is referenced by:  opphllem2  28507
  Copyright terms: Public domain W3C validator