Theorem opphllem1 29250

Description: Lemma for opphl 29257. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphllem1.s	⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
opphllem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
opphllem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
opphllem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
opphllem1.o	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
opphllem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐷)
opphllem1.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆‘𝐶))
opphllem1.x	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑅)
opphllem1.y	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑅)
opphllem1.z	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))

Assertion

Ref	Expression
opphllem1	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡, −   𝑡,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝐴(𝑎, 𝑏)   𝐵(𝑎, 𝑏)   𝐶(𝑎, 𝑏)   𝑅(𝑎, 𝑏)   𝑆(𝑎, 𝑏)   𝐺(𝑎, 𝑏)   𝐿(𝑎, 𝑏)   𝑀(𝑎, 𝑏)   − (𝑎, 𝑏)   𝑂(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem opphllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpg.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		hpg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hpg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		opphl.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		opphl.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7		opphl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		opphllem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		opphllem1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		opphllem1.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	oppne1 29244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
12		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
13		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
14	12, 13	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
15	7	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		opphllem1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
17	16	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		opphllem1.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
19	1, 5, 3, 7, 6, 18	tglnpt 29039	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝑃)
21	8	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		opphllem1.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑅)
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑅)
24	23	necomd 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ≠ 𝐵)
25		opphllem1.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
27	1, 3, 5, 15, 20, 17, 21, 24, 26	btwnlng3 29116	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐿𝐵))
28	1, 3, 5, 15, 17, 20, 21, 23, 27	lncom 29117	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
29	6	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
30		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
31	18	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝐷)
32	1, 3, 5, 15, 17, 20, 23, 23, 29, 30, 31	tglinethru 29131	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝑅))
33	28, 32	eleqtrrd 2867	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
34	14, 33	pm2.61dane 3046	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
35	11, 34	mtand 828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	oppne2 29245	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
37		opphllem1.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐷)
38	1, 5, 3, 7, 6, 37	tglnpt 29039	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
39		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
40		opphllem1.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
41	1, 2, 3, 5, 39, 7, 38, 40, 8	mirbtwn 29157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝑆‘𝐴)𝐼𝐴))
42		opphllem1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆‘𝐶))
43	42	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐶) = 𝐴)
44	1, 2, 3, 5, 39, 7, 38, 40, 9, 43	mircom 29162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = 𝐶)
45	44	oveq1d 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)𝐼𝐴) = (𝐶𝐼𝐴))
46	41, 45	eleqtrd 2866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
47	1, 2, 3, 7, 19, 9, 8, 16, 38, 25, 46	axtgpasch 28956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑃 (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
48	7	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
49	19	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
50		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝑃)
51		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
52	51	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅))
53		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑀 = 𝑅)
54	53	oveq1d 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → (𝑀𝐼𝑅) = (𝑅𝐼𝑅))
55	52, 54	eleqtrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑅𝐼𝑅))
56	1, 2, 3, 48, 49, 50, 55	axtgbtwnid 28955	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 = 𝑡)
57	18	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐷)
58	56, 57	eqeltrrd 2865	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝐷)
59	7	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
60	38	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ∈ 𝑃)
61	19	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
62		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝑃)
63		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ≠ 𝑅)
64		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
65	64	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅))
66	1, 3, 5, 59, 60, 61, 62, 63, 65	btwnlng1 29114	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐿𝑅))
67	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
68	38	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ∈ 𝑃)
69	19	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
70		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ≠ 𝑅)
71	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
72	37	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ∈ 𝐷)
73	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐷)
74	1, 3, 5, 67, 68, 69, 70, 70, 71, 72, 73	tglinethru 29131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐷 = (𝑀𝐿𝑅))
75	74	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐷 = (𝑀𝐿𝑅))
76	66, 75	eleqtrrd 2867	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝐷)
77	58, 76	pm2.61dane 3046	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) → 𝑡 ∈ 𝐷)
78		simprrl 793	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
79	47, 77, 78	reximssdv 3184	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
80	35, 36, 79	jca31 524	. 2 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
81	1, 2, 3, 4, 16, 9	islnopp 29242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
82	80, 81	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5106  {copab 5170  ran crn 5656  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  distcds 17463  TarskiGcstrkg 28916  Itvcitv 28922  LineGclng 28923  pInvGcmir 29151

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-er 8742  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-s1 14767  df-s2 15024  df-s3 15025  df-trkgc 28937  df-trkgb 28938  df-trkgcb 28939  df-trkg 28942  df-cgrg 29001  df-mir 29152

This theorem is used by:  opphllem2  29251