MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opphllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opphllem1 26250
Description: Lemma for opphl 26257. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
opphllem1.s 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem1.a (𝜑𝐴𝑃)
opphllem1.b (𝜑𝐵𝑃)
opphllem1.c (𝜑𝐶𝑃)
opphllem1.r (𝜑𝑅𝐷)
opphllem1.o (𝜑𝐴𝑂𝐶)
opphllem1.m (𝜑𝑀𝐷)
opphllem1.n (𝜑𝐴 = (𝑆𝐶))
opphllem1.x (𝜑𝐴𝑅)
opphllem1.y (𝜑𝐵𝑅)
opphllem1.z (𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
Assertion
Ref Expression
opphllem1 (𝜑𝐵𝑂𝐶)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡,   𝑡,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑀(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem1
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hpg.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 hpg.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hpg.o . . . . 5 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5 opphl.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 opphl.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
7 opphl.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 opphllem1.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
9 opphllem1.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
10 opphllem1.o . . . . 5 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10oppne1 26244 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
12 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
13 simplr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝐷)
1412, 13eqeltrd 2859 . . . . 5 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐷)
157ad2antrr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16 opphllem1.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑃)
1716ad2antrr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝑃)
18 opphllem1.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝐷)
191, 5, 3, 7, 6, 18tglnpt 26052 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅𝑃)
2019ad2antrr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑅𝑃)
218ad2antrr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝑃)
22 opphllem1.y . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑅)
2322ad2antrr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝑅)
2423necomd 3015 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑅𝐵)
25 opphllem1.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
2625ad2antrr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
271, 3, 5, 15, 20, 17, 21, 24, 26btwnlng3 26124 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐿𝐵))
281, 3, 5, 15, 17, 20, 21, 23, 27lncom 26125 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
296ad2antrr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
30 simplr 757 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐷)
3118ad2antrr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑅𝐷)
321, 3, 5, 15, 17, 20, 23, 23, 29, 30, 31tglinethru 26139 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝑅))
3328, 32eleqtrrd 2862 . . . . 5 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐷)
3414, 33pm2.61dane 3048 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐴𝐷)
3511, 34mtand 804 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐷)
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10oppne2 26245 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐷)
37 opphllem1.m . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐷)
381, 5, 3, 7, 6, 37tglnpt 26052 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑃)
39 eqid 2771 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
40 opphllem1.s . . . . . . 7 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
411, 2, 3, 5, 39, 7, 38, 40, 8mirbtwn 26161 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ((𝑆𝐴)𝐼𝐴))
42 opphllem1.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝑆𝐶))
4342eqcomd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐶) = 𝐴)
441, 2, 3, 5, 39, 7, 38, 40, 9, 43mircom 26166 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐴) = 𝐶)
4544oveq1d 6989 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐴)𝐼𝐴) = (𝐶𝐼𝐴))
4641, 45eleqtrd 2861 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
471, 2, 3, 7, 19, 9, 8, 16, 38, 25, 46axtgpasch 25970 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑡𝑃 (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
487ad2antrr 714 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4919ad2antrr 714 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅𝑃)
50 simplrl 765 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡𝑃)
51 simplrr 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
5251simprd 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅))
53 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑀 = 𝑅)
5453oveq1d 6989 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → (𝑀𝐼𝑅) = (𝑅𝐼𝑅))
5552, 54eleqtrd 2861 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑅𝐼𝑅))
561, 2, 3, 48, 49, 50, 55axtgbtwnid 25969 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 = 𝑡)
5718ad2antrr 714 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅𝐷)
5856, 57eqeltrrd 2860 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡𝐷)
597ad2antrr 714 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6038ad2antrr 714 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝑀𝑃)
6119ad2antrr 714 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝑅𝑃)
62 simplrl 765 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝑡𝑃)
63 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝑀𝑅)
64 simplrr 766 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
6564simprd 488 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅))
661, 3, 5, 59, 60, 61, 62, 63, 65btwnlng1 26122 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐿𝑅))
677adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6838adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀𝑅) → 𝑀𝑃)
6919adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀𝑅) → 𝑅𝑃)
70 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀𝑅) → 𝑀𝑅)
716adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀𝑅) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7237adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀𝑅) → 𝑀𝐷)
7318adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀𝑅) → 𝑅𝐷)
741, 3, 5, 67, 68, 69, 70, 70, 71, 72, 73tglinethru 26139 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀𝑅) → 𝐷 = (𝑀𝐿𝑅))
7574adantlr 703 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝐷 = (𝑀𝐿𝑅))
7666, 75eleqtrrd 2862 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝑡𝐷)
7758, 76pm2.61dane 3048 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) → 𝑡𝐷)
78 simprrl 769 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
7947, 77, 78reximssdv 3214 . . 3 (𝜑 → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
8035, 36, 79jca31 507 . 2 (𝜑 → ((¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
811, 2, 3, 4, 16, 9islnopp 26242 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
8280, 81mpbird 249 1 (𝜑𝐵𝑂𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2960  wrex 3082  cdif 3819   class class class wbr 4925  {copab 4987  ran crn 5404  cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  distcds 16428  TarskiGcstrkg 25933  Itvcitv 25939  LineGclng 25940  pInvGcmir 26155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-pm 8207  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-dju 9122  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-n0 11706  df-xnn0 11778  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-hash 13504  df-word 13671  df-concat 13732  df-s1 13757  df-s2 14070  df-s3 14071  df-trkgc 25951  df-trkgb 25952  df-trkgcb 25953  df-trkg 25956  df-cgrg 26014  df-mir 26156
This theorem is referenced by:  opphllem2  26251
  Copyright terms: Public domain W3C validator