Theorem opphllem1 28770

Description: Lemma for opphl 28777. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphllem1.s	⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
opphllem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
opphllem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
opphllem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
opphllem1.o	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
opphllem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐷)
opphllem1.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆‘𝐶))
opphllem1.x	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑅)
opphllem1.y	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑅)
opphllem1.z	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))

Assertion

Ref	Expression
opphllem1	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡, −   𝑡,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑀(𝑎,𝑏)   − (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpg.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		hpg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hpg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		opphl.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		opphl.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7		opphl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		opphllem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		opphllem1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		opphllem1.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	oppne1 28764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
13		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
14	12, 13	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
15	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		opphllem1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		opphllem1.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
19	1, 5, 3, 7, 6, 18	tglnpt 28572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝑃)
21	8	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		opphllem1.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑅)
23	22	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑅)
24	23	necomd 2994	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ≠ 𝐵)
25		opphllem1.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
26	25	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
27	1, 3, 5, 15, 20, 17, 21, 24, 26	btwnlng3 28644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐿𝐵))
28	1, 3, 5, 15, 17, 20, 21, 23, 27	lncom 28645	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
29	6	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
30		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
31	18	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝐷)
32	1, 3, 5, 15, 17, 20, 23, 23, 29, 30, 31	tglinethru 28659	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝑅))
33	28, 32	eleqtrrd 2842	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
34	14, 33	pm2.61dane 3027	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
35	11, 34	mtand 816	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	oppne2 28765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
37		opphllem1.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐷)
38	1, 5, 3, 7, 6, 37	tglnpt 28572	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
39		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
40		opphllem1.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
41	1, 2, 3, 5, 39, 7, 38, 40, 8	mirbtwn 28681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝑆‘𝐴)𝐼𝐴))
42		opphllem1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆‘𝐶))
43	42	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐶) = 𝐴)
44	1, 2, 3, 5, 39, 7, 38, 40, 9, 43	mircom 28686	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = 𝐶)
45	44	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)𝐼𝐴) = (𝐶𝐼𝐴))
46	41, 45	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
47	1, 2, 3, 7, 19, 9, 8, 16, 38, 25, 46	axtgpasch 28490	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑃 (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
48	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
49	19	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
50		simplrl 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝑃)
51		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
52	51	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅))
53		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑀 = 𝑅)
54	53	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → (𝑀𝐼𝑅) = (𝑅𝐼𝑅))
55	52, 54	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑅𝐼𝑅))
56	1, 2, 3, 48, 49, 50, 55	axtgbtwnid 28489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 = 𝑡)
57	18	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐷)
58	56, 57	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝐷)
59	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
60	38	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ∈ 𝑃)
61	19	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
62		simplrl 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝑃)
63		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ≠ 𝑅)
64		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
65	64	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅))
66	1, 3, 5, 59, 60, 61, 62, 63, 65	btwnlng1 28642	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐿𝑅))
67	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
68	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ∈ 𝑃)
69	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
70		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ≠ 𝑅)
71	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
72	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ∈ 𝐷)
73	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐷)
74	1, 3, 5, 67, 68, 69, 70, 70, 71, 72, 73	tglinethru 28659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐷 = (𝑀𝐿𝑅))
75	74	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐷 = (𝑀𝐿𝑅))
76	66, 75	eleqtrrd 2842	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝐷)
77	58, 76	pm2.61dane 3027	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) → 𝑡 ∈ 𝐷)
78		simprrl 781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
79	47, 77, 78	reximssdv 3171	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
80	35, 36, 79	jca31 514	. 2 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
81	1, 2, 3, 4, 16, 9	islnopp 28762	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
82	80, 81	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   ∖ cdif 3960   class class class wbr 5148  {copab 5210  ran crn 5690  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456  LineGclng 28457  pInvGcmir 28675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkg 28476  df-cgrg 28534  df-mir 28676

This theorem is referenced by:  opphllem2  28771