MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opphllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opphllem1 28770
Description: Lemma for opphl 28777. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
opphllem1.s 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem1.a (𝜑𝐴𝑃)
opphllem1.b (𝜑𝐵𝑃)
opphllem1.c (𝜑𝐶𝑃)
opphllem1.r (𝜑𝑅𝐷)
opphllem1.o (𝜑𝐴𝑂𝐶)
opphllem1.m (𝜑𝑀𝐷)
opphllem1.n (𝜑𝐴 = (𝑆𝐶))
opphllem1.x (𝜑𝐴𝑅)
opphllem1.y (𝜑𝐵𝑅)
opphllem1.z (𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
Assertion
Ref Expression
opphllem1 (𝜑𝐵𝑂𝐶)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡,   𝑡,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑀(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem1
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hpg.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 hpg.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hpg.o . . . . 5 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5 opphl.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 opphl.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
7 opphl.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 opphllem1.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
9 opphllem1.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
10 opphllem1.o . . . . 5 (𝜑𝐴𝑂𝐶)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10oppne1 28764 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐷)
12 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
13 simplr 769 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝐷)
1412, 13eqeltrd 2839 . . . . 5 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐷)
157ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16 opphllem1.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑃)
1716ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝑃)
18 opphllem1.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝐷)
191, 5, 3, 7, 6, 18tglnpt 28572 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅𝑃)
2019ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑅𝑃)
218ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝑃)
22 opphllem1.y . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑅)
2322ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝑅)
2423necomd 2994 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑅𝐵)
25 opphllem1.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
2625ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
271, 3, 5, 15, 20, 17, 21, 24, 26btwnlng3 28644 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐿𝐵))
281, 3, 5, 15, 17, 20, 21, 23, 27lncom 28645 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
296ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
30 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐷)
3118ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑅𝐷)
321, 3, 5, 15, 17, 20, 23, 23, 29, 30, 31tglinethru 28659 . . . . . 6 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝑅))
3328, 32eleqtrrd 2842 . . . . 5 (((𝜑𝐵𝐷) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐷)
3414, 33pm2.61dane 3027 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐷) → 𝐴𝐷)
3511, 34mtand 816 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐷)
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10oppne2 28765 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐷)
37 opphllem1.m . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐷)
381, 5, 3, 7, 6, 37tglnpt 28572 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑃)
39 eqid 2735 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
40 opphllem1.s . . . . . . 7 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
411, 2, 3, 5, 39, 7, 38, 40, 8mirbtwn 28681 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ((𝑆𝐴)𝐼𝐴))
42 opphllem1.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝑆𝐶))
4342eqcomd 2741 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐶) = 𝐴)
441, 2, 3, 5, 39, 7, 38, 40, 9, 43mircom 28686 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐴) = 𝐶)
4544oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐴)𝐼𝐴) = (𝐶𝐼𝐴))
4641, 45eleqtrd 2841 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
471, 2, 3, 7, 19, 9, 8, 16, 38, 25, 46axtgpasch 28490 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑡𝑃 (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
487ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4919ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅𝑃)
50 simplrl 777 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡𝑃)
51 simplrr 778 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
5251simprd 495 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅))
53 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑀 = 𝑅)
5453oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → (𝑀𝐼𝑅) = (𝑅𝐼𝑅))
5552, 54eleqtrd 2841 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑅𝐼𝑅))
561, 2, 3, 48, 49, 50, 55axtgbtwnid 28489 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 = 𝑡)
5718ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅𝐷)
5856, 57eqeltrrd 2840 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡𝐷)
597ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6038ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝑀𝑃)
6119ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝑅𝑃)
62 simplrl 777 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝑡𝑃)
63 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝑀𝑅)
64 simplrr 778 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
6564simprd 495 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅))
661, 3, 5, 59, 60, 61, 62, 63, 65btwnlng1 28642 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐿𝑅))
677adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6838adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀𝑅) → 𝑀𝑃)
6919adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀𝑅) → 𝑅𝑃)
70 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀𝑅) → 𝑀𝑅)
716adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀𝑅) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7237adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀𝑅) → 𝑀𝐷)
7318adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀𝑅) → 𝑅𝐷)
741, 3, 5, 67, 68, 69, 70, 70, 71, 72, 73tglinethru 28659 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀𝑅) → 𝐷 = (𝑀𝐿𝑅))
7574adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝐷 = (𝑀𝐿𝑅))
7666, 75eleqtrrd 2842 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀𝑅) → 𝑡𝐷)
7758, 76pm2.61dane 3027 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) → 𝑡𝐷)
78 simprrl 781 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
7947, 77, 78reximssdv 3171 . . 3 (𝜑 → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
8035, 36, 79jca31 514 . 2 (𝜑 → ((¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
811, 2, 3, 4, 16, 9islnopp 28762 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ 𝐶𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
8280, 81mpbird 257 1 (𝜑𝐵𝑂𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  cdif 3960   class class class wbr 5148  {copab 5210  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456  LineGclng 28457  pInvGcmir 28675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkg 28476  df-cgrg 28534  df-mir 28676
This theorem is referenced by:  opphllem2  28771
  Copyright terms: Public domain W3C validator