Theorem opphllem1 28987

Description: Lemma for opphl 28994. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
opphllem1.s	⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
opphllem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
opphllem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
opphllem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
opphllem1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
opphllem1.o	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
opphllem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐷)
opphllem1.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆‘𝐶))
opphllem1.x	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑅)
opphllem1.y	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑅)
opphllem1.z	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))

Assertion

Ref	Expression
opphllem1	⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝑅   𝑡,𝐶   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝑀   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡, −   𝑡,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑀(𝑎,𝑏)   − (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opphllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		hpg.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		hpg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hpg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
5		opphl.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		opphl.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7		opphl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		opphllem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		opphllem1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		opphllem1.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐶)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	oppne1 28981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
12		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
13		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
14	12, 13	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
15	7	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		opphllem1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
17	16	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		opphllem1.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷)
19	1, 5, 3, 7, 6, 18	tglnpt 28784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃)
20	19	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝑃)
21	8	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		opphllem1.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑅)
23	22	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝑅)
24	23	necomd 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ≠ 𝐵)
25		opphllem1.z	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
26	25	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝑅𝐼𝐴))
27	1, 3, 5, 15, 20, 17, 21, 24, 26	btwnlng3 28856	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅𝐿𝐵))
28	1, 3, 5, 15, 17, 20, 21, 23, 27	lncom 28857	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝑅))
29	6	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
30		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
31	18	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝐷)
32	1, 3, 5, 15, 17, 20, 23, 23, 29, 30, 31	tglinethru 28871	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝑅))
33	28, 32	eleqtrrd 2872	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐷)
34	14, 33	pm2.61dane 3051	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐷)
35	11, 34	mtand 827	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	oppne2 28982	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷)
37		opphllem1.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐷)
38	1, 5, 3, 7, 6, 37	tglnpt 28784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃)
39		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
40		opphllem1.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ((pInvG‘𝐺)‘𝑀)
41	1, 2, 3, 5, 39, 7, 38, 40, 8	mirbtwn 28897	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝑆‘𝐴)𝐼𝐴))
42		opphllem1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆‘𝐶))
43	42	eqcomd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐶) = 𝐴)
44	1, 2, 3, 5, 39, 7, 38, 40, 9, 43	mircom 28902	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = 𝐶)
45	44	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴)𝐼𝐴) = (𝐶𝐼𝐴))
46	41, 45	eleqtrd 2871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
47	1, 2, 3, 7, 19, 9, 8, 16, 38, 25, 46	axtgpasch 28702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑃 (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
48	7	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
49	19	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
50		simplrl 788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝑃)
51		simplrr 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
52	51	simprd 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅))
53		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑀 = 𝑅)
54	53	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → (𝑀𝐼𝑅) = (𝑅𝐼𝑅))
55	52, 54	eleqtrd 2871	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑅𝐼𝑅))
56	1, 2, 3, 48, 49, 50, 55	axtgbtwnid 28701	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 = 𝑡)
57	18	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐷)
58	56, 57	eqeltrrd 2870	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 = 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝐷)
59	7	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
60	38	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ∈ 𝑃)
61	19	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
62		simplrl 788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝑃)
63		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ≠ 𝑅)
64		simplrr 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))
65	64	simprd 500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅))
66	1, 3, 5, 59, 60, 61, 62, 63, 65	btwnlng1 28854	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ (𝑀𝐿𝑅))
67	7	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
68	38	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ∈ 𝑃)
69	19	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝑃)
70		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ≠ 𝑅)
71	6	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
72	37	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑀 ∈ 𝐷)
73	18	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐷)
74	1, 3, 5, 67, 68, 69, 70, 70, 71, 72, 73	tglinethru 28871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐷 = (𝑀𝐿𝑅))
75	74	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝐷 = (𝑀𝐿𝑅))
76	66, 75	eleqtrrd 2872	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) ∧ 𝑀 ≠ 𝑅) → 𝑡 ∈ 𝐷)
77	58, 76	pm2.61dane 3051	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) → 𝑡 ∈ 𝐷)
78		simprrl 792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑃 ∧ (𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∧ 𝑡 ∈ (𝑀𝐼𝑅)))) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
79	47, 77, 78	reximssdv 3189	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
80	35, 36, 79	jca31 523	. 2 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
81	1, 2, 3, 4, 16, 9	islnopp 28979	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑂𝐶 ↔ ((¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝐵𝐼𝐶))))
82	80, 81	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑂𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3908   class class class wbr 5111  {copab 5175  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  distcds 17319  TarskiGcstrkg 28662  Itvcitv 28668  LineGclng 28669  pInvGcmir 28891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8694  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-concat 14608  df-s1 14634  df-s2 14885  df-s3 14886  df-trkgc 28683  df-trkgb 28684  df-trkgcb 28685  df-trkg 28688  df-cgrg 28746  df-mir 28892

This theorem is referenced by:  opphllem2  28988