MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnoppnhpg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnoppnhpg 27748
Description: If two points lie on the opposite side of a line 𝐷, they are not on the same half-plane. Theorem 9.9 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishpg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ishpg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ishpg.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
ishpg.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
ishpg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
ishpg.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgbr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgbr.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
lnoppnhpg.1 (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂𝐡)
Assertion
Ref Expression
lnoppnhpg (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡)
Distinct variable groups:   𝑑,𝐴   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐼,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐿,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑂,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑑   πœ‘,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem lnoppnhpg
StepHypRef Expression
1 ishpg.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2733 . . 3 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
3 ishpg.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 ishpg.o . . 3 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
5 ishpg.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
6 ishpg.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7 ishpg.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 hpgbr.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8oppnid 27730 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡𝑂𝐡)
10 hpgbr.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
11 lnoppnhpg.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂𝐡)
121, 3, 5, 4, 7, 6, 10, 8, 8, 11lnopp2hpgb 27747 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡𝑂𝐡 ↔ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡))
139, 12mtbid 324 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3908   class class class wbr 5106  {copab 5168  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  distcds 17147  TarskiGcstrkg 27411  Itvcitv 27417  LineGclng 27418  hpGchpg 27741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-s1 14490  df-s2 14743  df-s3 14744  df-trkgc 27432  df-trkgb 27433  df-trkgcb 27434  df-trkgld 27436  df-trkg 27437  df-cgrg 27495  df-leg 27567  df-hlg 27585  df-mir 27637  df-rag 27678  df-perpg 27680  df-hpg 27742
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator