MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnoppnhpg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnoppnhpg 28596
Description: If two points lie on the opposite side of a line 𝐷, they are not on the same half-plane. Theorem 9.9 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishpg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ishpg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ishpg.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
ishpg.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
ishpg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
ishpg.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgbr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgbr.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
lnoppnhpg.1 (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂𝐡)
Assertion
Ref Expression
lnoppnhpg (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡)
Distinct variable groups:   𝑑,𝐴   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐼,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐿,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑂,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑑   πœ‘,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem lnoppnhpg
StepHypRef Expression
1 ishpg.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2728 . . 3 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
3 ishpg.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 ishpg.o . . 3 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
5 ishpg.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
6 ishpg.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7 ishpg.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 hpgbr.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8oppnid 28578 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡𝑂𝐡)
10 hpgbr.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
11 lnoppnhpg.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂𝐡)
121, 3, 5, 4, 7, 6, 10, 8, 8, 11lnopp2hpgb 28595 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡𝑂𝐡 ↔ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡))
139, 12mtbid 323 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067   βˆ– cdif 3946   class class class wbr 5152  {copab 5214  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  distcds 17251  TarskiGcstrkg 28259  Itvcitv 28265  LineGclng 28266  hpGchpg 28589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-hash 14332  df-word 14507  df-concat 14563  df-s1 14588  df-s2 14841  df-s3 14842  df-trkgc 28280  df-trkgb 28281  df-trkgcb 28282  df-trkgld 28284  df-trkg 28285  df-cgrg 28343  df-leg 28415  df-hlg 28433  df-mir 28485  df-rag 28526  df-perpg 28528  df-hpg 28590
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator