Theorem opptgdim2 27010

Description: If two points opposite to a line exist, dimension must be 2 or more. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
oppcom.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
oppcom.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
oppcom.o	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opptgdim2	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝜑,𝑡   𝑡, −   𝑡,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   − (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opptgdim2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		opphl.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		hpg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		opphl.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 726	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		simpllr 772	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
7		simplr 765	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
8		oppcom.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 726	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		hpg.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
11		hpg.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
12		opphl.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
13		oppcom.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
14		oppcom.o	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐵)
15	1, 10, 3, 11, 2, 12, 4, 8, 13, 14	oppne1 27006	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
16	15	ad3antrrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
17		simprl 767	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐷 = (𝑥𝐿𝑦))
18	16, 17	neleqtrd 2860	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
19		simprr 769	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
20	19	neneqd 2947	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
21		ioran 980	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∨ 𝑥 = 𝑦) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
22	18, 20, 21	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∨ 𝑥 = 𝑦))
23	1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 22	ncoltgdim2 26830	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
24	1, 3, 2, 4, 12	tgisline 26892	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
25	23, 24	r19.29vva 3263	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880   class class class wbr 5070  {copab 5132  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  2c2 11958  Basecbs 16840  distcds 16897  TarskiGcstrkg 26693  Dim_TarskiG≥cstrkgld 26697  Itvcitv 26699  LineGclng 26700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-trkgc 26713  df-trkgcb 26715  df-trkgld 26717  df-trkg 26718

This theorem is referenced by:  opphllem5  27016  opphl  27019