Theorem opptgdim2 29248

Description: If two points opposite to a line exist, dimension must be 2 or more. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
oppcom.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
oppcom.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
oppcom.o	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opptgdim2	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝜑,𝑡   𝑡, −   𝑡,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝐴(𝑎, 𝑏)   𝐵(𝑎, 𝑏)   𝐺(𝑎, 𝑏)   𝐿(𝑎, 𝑏)   − (𝑎, 𝑏)   𝑂(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem opptgdim2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		opphl.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		hpg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		opphl.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 743	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		simpllr 788	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
7		simplr 781	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
8		oppcom.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 743	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		hpg.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
11		hpg.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
12		opphl.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
13		oppcom.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
14		oppcom.o	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐵)
15	1, 10, 3, 11, 2, 12, 4, 8, 13, 14	oppne1 29244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
16	15	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
17		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐷 = (𝑥𝐿𝑦))
18	16, 17	neleqtrd 2886	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
19		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
20	19	neneqd 2964	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
21		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∨ 𝑥 = 𝑦) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
22	18, 20, 21	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∨ 𝑥 = 𝑦))
23	1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 22	ncoltgdim2 29055	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
24	1, 3, 2, 4, 12	tgisline 29122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
25	23, 24	r19.29vva 3226	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5106  {copab 5170  ran crn 5656  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  2c2 12421  Basecbs 17413  distcds 17463  TarskiGcstrkg 28916  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28920  Itvcitv 28922  LineGclng 28923

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-trkgc 28937  df-trkgcb 28939  df-trkgld 28941  df-trkg 28942

This theorem is used by:  opphllem5  29254  opphl  29257