Theorem opptgdim2 28987

Description: If two points opposite to a line exist, dimension must be 2 or more. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
oppcom.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
oppcom.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
oppcom.o	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opptgdim2	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝜑,𝑡   𝑡, −   𝑡,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   − (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opptgdim2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		opphl.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		hpg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		opphl.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 742	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		simpllr 787	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
7		simplr 780	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
8		oppcom.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 742	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		hpg.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
11		hpg.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
12		opphl.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
13		oppcom.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
14		oppcom.o	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐵)
15	1, 10, 3, 11, 2, 12, 4, 8, 13, 14	oppne1 28983	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
16	15	ad3antrrr 742	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
17		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐷 = (𝑥𝐿𝑦))
18	16, 17	neleqtrd 2891	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
19		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
20	19	neneqd 2969	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
21		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∨ 𝑥 = 𝑦) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
22	18, 20, 21	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∨ 𝑥 = 𝑦))
23	1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 22	ncoltgdim2 28802	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
24	1, 3, 2, 4, 12	tgisline 28864	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
25	23, 24	r19.29vva 3231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910   class class class wbr 5113  {copab 5177  ran crn 5665  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  2c2 12297  Basecbs 17271  distcds 17321  TarskiGcstrkg 28664  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28668  Itvcitv 28670  LineGclng 28671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-trkgc 28685  df-trkgcb 28687  df-trkgld 28689  df-trkg 28690

This theorem is referenced by:  opphllem5  28993  opphl  28996