MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opptgdim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opptgdim2 28251
Description: If two points opposite to a line exist, dimension must be 2 or more. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hpg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hpg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hpg.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
opphl.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
opphl.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
oppcom.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
oppcom.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
oppcom.o (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂𝐡)
Assertion
Ref Expression
opptgdim2 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,𝑏   𝐼,π‘Ž,𝑏   𝑃,π‘Ž,𝑏   𝑑,𝐴   𝑑,𝐡   𝑑,𝐷   𝑑,𝐺   𝑑,𝐿   𝑑,𝐼   𝑑,𝑂   𝑑,𝑃   πœ‘,𝑑   𝑑, βˆ’   𝑑,π‘Ž,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)   𝐡(π‘Ž,𝑏)   𝐺(π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘Ž,𝑏)   βˆ’ (π‘Ž,𝑏)   𝑂(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem opptgdim2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpg.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 opphl.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
3 hpg.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 opphl.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 728 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 simpllr 774 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
7 simplr 767 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
8 oppcom.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
98ad3antrrr 728 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10 hpg.d . . . . . . 7 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
11 hpg.o . . . . . . 7 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
12 opphl.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
13 oppcom.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
14 oppcom.o . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴𝑂𝐡)
151, 10, 3, 11, 2, 12, 4, 8, 13, 14oppne1 28247 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
1615ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
17 simprl 769 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ 𝐷 = (π‘₯𝐿𝑦))
1816, 17neleqtrd 2855 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ (π‘₯𝐿𝑦))
19 simprr 771 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ π‘₯ β‰  𝑦)
2019neneqd 2945 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝑦)
21 ioran 982 . . . 4 (Β¬ (𝐴 ∈ (π‘₯𝐿𝑦) ∨ π‘₯ = 𝑦) ↔ (Β¬ 𝐴 ∈ (π‘₯𝐿𝑦) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝑦))
2218, 20, 21sylanbrc 583 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ Β¬ (𝐴 ∈ (π‘₯𝐿𝑦) ∨ π‘₯ = 𝑦))
231, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 22ncoltgdim2 28071 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
241, 3, 2, 4, 12tgisline 28133 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝐷 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦))
2523, 24r19.29vva 3213 1 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   class class class wbr 5148  {copab 5210  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  2c2 12271  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27933  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27937  Itvcitv 27939  LineGclng 27940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-trkgc 27954  df-trkgcb 27956  df-trkgld 27958  df-trkg 27959
This theorem is referenced by:  opphllem5  28257  opphl  28260
  Copyright terms: Public domain W3C validator