Theorem opptgdim2 27106

Description: If two points opposite to a line exist, dimension must be 2 or more. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
hpg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
oppcom.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
oppcom.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
oppcom.o	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opptgdim2	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐷   𝑡,𝐺   𝑡,𝐿   𝑡,𝐼   𝑡,𝑂   𝑡,𝑃   𝜑,𝑡   𝑡, −   𝑡,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   − (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem opptgdim2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		opphl.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		hpg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		opphl.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 727	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		simpllr 773	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
7		simplr 766	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
8		oppcom.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 727	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		hpg.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
11		hpg.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
12		opphl.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
13		oppcom.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
14		oppcom.o	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑂𝐵)
15	1, 10, 3, 11, 2, 12, 4, 8, 13, 14	oppne1 27102	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
16	15	ad3antrrr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
17		simprl 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐷 = (𝑥𝐿𝑦))
18	16, 17	neleqtrd 2860	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
19		simprr 770	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
20	19	neneqd 2948	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
21		ioran 981	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∨ 𝑥 = 𝑦) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
22	18, 20, 21	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝑥𝐿𝑦) ∨ 𝑥 = 𝑦))
23	1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 22	ncoltgdim2 26926	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
24	1, 3, 2, 4, 12	tgisline 26988	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐷 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
25	23, 24	r19.29vva 3266	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3884   class class class wbr 5074  {copab 5136  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  2c2 12028  Basecbs 16912  distcds 16971  TarskiGcstrkg 26788  Dim_TarskiG≥cstrkgld 26792  Itvcitv 26794  LineGclng 26795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-trkgc 26809  df-trkgcb 26811  df-trkgld 26813  df-trkg 26814

This theorem is referenced by:  opphllem5  27112  opphl  27115