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Theorem oaun3lem1 42868
Description: The class of all ordinal sums of elements from two ordinals is ordinal. Lemma for oaun3 42876. (Contributed by RP, 13-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
oaun3lem1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → Ord {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏,𝑥

Proof of Theorem oaun3lem1
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . . . 6 𝑎(𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)
2 nfcv 2892 . . . . . . 7 𝑎𝑦
3 nfre1 3273 . . . . . . . 8 𝑎𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)
43nfsab 2715 . . . . . . 7 𝑎 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}
52, 4nfralw 3299 . . . . . 6 𝑎𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}
6 nfv 1909 . . . . . . . 8 𝑏((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑎𝐴)
7 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 𝑏𝑦
8 nfcv 2892 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝐴
9 nfre1 3273 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)
108, 9nfrexw 3301 . . . . . . . . . 10 𝑏𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)
1110nfsab 2715 . . . . . . . . 9 𝑏 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}
127, 11nfralw 3299 . . . . . . . 8 𝑏𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}
13 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝐴 ∈ On)
14 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑎𝐴)
1514anim1ci 614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) ∧ 𝑧𝑎) → (𝑧𝑎𝑎𝐴))
16 ontr1 6410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ On → ((𝑧𝑎𝑎𝐴) → 𝑧𝐴))
1713, 15, 16sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑧𝐴)
18 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐵 ∈ On)
19 ne0i 4330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏𝐵𝐵 ≠ ∅)
2019adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
21 on0eln0 6420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
2221biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐵)
2318, 20, 22syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → ∅ ∈ 𝐵)
24 onelon 6389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ On)
2524ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → 𝑎 ∈ On)
26 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
27 onelon 6389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ On)
2818, 26, 27syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → 𝑏 ∈ On)
29 oacl 8554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑎 +o 𝑏) ∈ On)
3025, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝑎 +o 𝑏) ∈ On)
31 onelon 6389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎 +o 𝑏) ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑧 ∈ On)
3230, 31sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑧 ∈ On)
33 oa0 8535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ On → (𝑧 +o ∅) = 𝑧)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → (𝑧 +o ∅) = 𝑧)
3534eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑧 = (𝑧 +o ∅))
36 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ∅ → (𝑧 +o 𝑦) = (𝑧 +o ∅))
3736rspceeqv 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∅ ∈ 𝐵𝑧 = (𝑧 +o ∅)) → ∃𝑦𝐵 𝑧 = (𝑧 +o 𝑦))
3823, 35, 37syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → ∃𝑦𝐵 𝑧 = (𝑧 +o 𝑦))
3938adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) ∧ 𝑧𝑎) → ∃𝑦𝐵 𝑧 = (𝑧 +o 𝑦))
40 oveq1 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 +o 𝑦) = (𝑧 +o 𝑦))
4140eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑧 → (𝑧 = (𝑤 +o 𝑦) ↔ 𝑧 = (𝑧 +o 𝑦)))
4241rexbidv 3169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑧 → (∃𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦) ↔ ∃𝑦𝐵 𝑧 = (𝑧 +o 𝑦)))
4342rspcev 3601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝐴 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑧 = (𝑧 +o 𝑦)) → ∃𝑤𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦))
4417, 39, 43syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) ∧ 𝑧𝑎) → ∃𝑤𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦))
4518adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → 𝐵 ∈ On)
4625, 45jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝑎 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On))
4746adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → (𝑎 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On))
48 oacl 8554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑎 +o 𝐵) ∈ On)
4925, 45, 48syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝑎 +o 𝐵) ∈ On)
50 eloni 6374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 +o 𝑏) ∈ On → Ord (𝑎 +o 𝑏))
51 eloni 6374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 +o 𝐵) ∈ On → Ord (𝑎 +o 𝐵))
5250, 51anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 +o 𝑏) ∈ On ∧ (𝑎 +o 𝐵) ∈ On) → (Ord (𝑎 +o 𝑏) ∧ Ord (𝑎 +o 𝐵)))
5330, 49, 52syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (Ord (𝑎 +o 𝑏) ∧ Ord (𝑎 +o 𝐵)))
5445, 25jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝐵 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On))
5526adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
56 oaordi 8565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (𝑏𝐵 → (𝑎 +o 𝑏) ∈ (𝑎 +o 𝐵)))
5754, 55, 56sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝑎 +o 𝑏) ∈ (𝑎 +o 𝐵))
58 ordelpss 6392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Ord (𝑎 +o 𝑏) ∧ Ord (𝑎 +o 𝐵)) → ((𝑎 +o 𝑏) ∈ (𝑎 +o 𝐵) ↔ (𝑎 +o 𝑏) ⊊ (𝑎 +o 𝐵)))
5958biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Ord (𝑎 +o 𝑏) ∧ Ord (𝑎 +o 𝐵)) → ((𝑎 +o 𝑏) ∈ (𝑎 +o 𝐵) → (𝑎 +o 𝑏) ⊊ (𝑎 +o 𝐵)))
6053, 57, 59sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝑎 +o 𝑏) ⊊ (𝑎 +o 𝐵))
6160pssssd 4089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝑎 +o 𝑏) ⊆ (𝑎 +o 𝐵))
6261sselda 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝐵))
6362anim1ci 614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) ∧ 𝑎𝑧) → (𝑎𝑧𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝐵)))
64 oawordex2 42820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝑧𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝐵))) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 +o 𝑦) = 𝑧)
6547, 63, 64syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) ∧ 𝑎𝑧) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 +o 𝑦) = 𝑧)
66 oveq1 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑎 → (𝑤 +o 𝑦) = (𝑎 +o 𝑦))
6766eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑤 +o 𝑦) ↔ 𝑧 = (𝑎 +o 𝑦)))
68 eqcom 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝑎 +o 𝑦) ↔ (𝑎 +o 𝑦) = 𝑧)
6967, 68bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑤 +o 𝑦) ↔ (𝑎 +o 𝑦) = 𝑧))
7069rexbidv 3169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑎 → (∃𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦) ↔ ∃𝑦𝐵 (𝑎 +o 𝑦) = 𝑧))
7170rspcev 3601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎𝐴 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝑎 +o 𝑦) = 𝑧) → ∃𝑤𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦))
7214, 65, 71syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) ∧ 𝑎𝑧) → ∃𝑤𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦))
73 eloni 6374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ On → Ord 𝑧)
7432, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → Ord 𝑧)
75 eloni 6374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ On → Ord 𝑎)
7625, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → Ord 𝑎)
7776adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → Ord 𝑎)
78 ordtri2or 6462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑎) → (𝑧𝑎𝑎𝑧))
7974, 77, 78syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → (𝑧𝑎𝑎𝑧))
8044, 72, 79mpjaodan 956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → ∃𝑤𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦))
81 vex 3467 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 ∈ V
82 eqeq1 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑎 +o 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 +o 𝑏)))
83822rexbidv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 +o 𝑏)))
84 oveq1 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑤 → (𝑎 +o 𝑏) = (𝑤 +o 𝑏))
8584eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 +o 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑤 +o 𝑏)))
86 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑦 → (𝑤 +o 𝑏) = (𝑤 +o 𝑦))
8786eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 = (𝑤 +o 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦)))
8885, 87cbvrex2vw 3230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 +o 𝑏) ↔ ∃𝑤𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦))
8983, 88bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏) ↔ ∃𝑤𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦)))
9081, 89elab 3659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ↔ ∃𝑤𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦))
9180, 90sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
9291ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
9392adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏)) → ∀𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
94 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏))
9594raleqdv 3315 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏)) → (∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}))
9693, 95mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏)) → ∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
9796exp31 418 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑦 = (𝑎 +o 𝑏) → ∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})))
9897expdimp 451 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑏𝐵 → (𝑦 = (𝑎 +o 𝑏) → ∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})))
996, 12, 98rexlimd 3254 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑎𝐴) → (∃𝑏𝐵 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏) → ∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}))
10099ex 411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑎𝐴 → (∃𝑏𝐵 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏) → ∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})))
1011, 5, 100rexlimd 3254 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏) → ∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}))
102101alrimiv 1922 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ∀𝑦(∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏) → ∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}))
103 eqeq1 2729 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑎 +o 𝑏) ↔ 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏)))
1041032rexbidv 3210 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏)))
105104ralab 3678 . . . 4 (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ↔ ∀𝑦(∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏) → ∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}))
106102, 105sylibr 233 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
107 dftr5 5264 . . 3 (Tr {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
108106, 107sylibr 233 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → Tr {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
109 simpr 483 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏))
11030adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)) → (𝑎 +o 𝑏) ∈ On)
111109, 110eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑥 ∈ On)
112111exp31 418 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑥 = (𝑎 +o 𝑏) → 𝑥 ∈ On)))
113112rexlimdvv 3201 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏) → 𝑥 ∈ On))
114113abssdv 4057 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ⊆ On)
115 epweon 7775 . . 3 E We On
116 wess 5659 . . 3 ({𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ⊆ On → ( E We On → E We {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}))
117114, 115, 116mpisyl 21 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → E We {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
118 df-ord 6367 . 2 (Ord {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ↔ (Tr {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ∧ E We {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}))
119108, 117, 118sylanbrc 581 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → Ord {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2702  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  wss 3939  wpss 3940  c0 4318  Tr wtr 5260   E cep 5575   We wwe 5626  Ord word 6363  Oncon0 6364  (class class class)co 7416   +o coa 8482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-oadd 8489
This theorem is referenced by:  oaun3lem3  42870
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