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Theorem oaun3lem1 42700
Description: The class of all ordinal sums of elements from two ordinals is ordinal. Lemma for oaun3 42708. (Contributed by RP, 13-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
oaun3lem1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → Ord {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏,𝑥

Proof of Theorem oaun3lem1
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . . . 6 𝑎(𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On)
2 nfcv 2897 . . . . . . 7 𝑎𝑦
3 nfre1 3276 . . . . . . . 8 𝑎𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)
43nfsab 2716 . . . . . . 7 𝑎 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}
52, 4nfralw 3302 . . . . . 6 𝑎𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}
6 nfv 1909 . . . . . . . 8 𝑏((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑎𝐴)
7 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 𝑏𝑦
8 nfcv 2897 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝐴
9 nfre1 3276 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)
108, 9nfrexw 3304 . . . . . . . . . 10 𝑏𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)
1110nfsab 2716 . . . . . . . . 9 𝑏 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}
127, 11nfralw 3302 . . . . . . . 8 𝑏𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}
13 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝐴 ∈ On)
14 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑎𝐴)
1514anim1ci 615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) ∧ 𝑧𝑎) → (𝑧𝑎𝑎𝐴))
16 ontr1 6404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ On → ((𝑧𝑎𝑎𝐴) → 𝑧𝐴))
1713, 15, 16sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑧𝐴)
18 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐵 ∈ On)
19 ne0i 4329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏𝐵𝐵 ≠ ∅)
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
21 on0eln0 6414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ On → (∅ ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
2221biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐵)
2318, 20, 22syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → ∅ ∈ 𝐵)
24 onelon 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ On)
2524ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → 𝑎 ∈ On)
26 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
27 onelon 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ On)
2818, 26, 27syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → 𝑏 ∈ On)
29 oacl 8536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑎 +o 𝑏) ∈ On)
3025, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝑎 +o 𝑏) ∈ On)
31 onelon 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎 +o 𝑏) ∈ On ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑧 ∈ On)
3230, 31sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑧 ∈ On)
33 oa0 8517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ On → (𝑧 +o ∅) = 𝑧)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → (𝑧 +o ∅) = 𝑧)
3534eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑧 = (𝑧 +o ∅))
36 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ∅ → (𝑧 +o 𝑦) = (𝑧 +o ∅))
3736rspceeqv 3628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∅ ∈ 𝐵𝑧 = (𝑧 +o ∅)) → ∃𝑦𝐵 𝑧 = (𝑧 +o 𝑦))
3823, 35, 37syl2an2r 682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → ∃𝑦𝐵 𝑧 = (𝑧 +o 𝑦))
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) ∧ 𝑧𝑎) → ∃𝑦𝐵 𝑧 = (𝑧 +o 𝑦))
40 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 +o 𝑦) = (𝑧 +o 𝑦))
4140eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑧 → (𝑧 = (𝑤 +o 𝑦) ↔ 𝑧 = (𝑧 +o 𝑦)))
4241rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑧 → (∃𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦) ↔ ∃𝑦𝐵 𝑧 = (𝑧 +o 𝑦)))
4342rspcev 3606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝐴 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑧 = (𝑧 +o 𝑦)) → ∃𝑤𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦))
4417, 39, 43syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) ∧ 𝑧𝑎) → ∃𝑤𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦))
4518adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → 𝐵 ∈ On)
4625, 45jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝑎 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → (𝑎 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On))
48 oacl 8536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑎 +o 𝐵) ∈ On)
4925, 45, 48syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝑎 +o 𝐵) ∈ On)
50 eloni 6368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 +o 𝑏) ∈ On → Ord (𝑎 +o 𝑏))
51 eloni 6368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 +o 𝐵) ∈ On → Ord (𝑎 +o 𝐵))
5250, 51anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 +o 𝑏) ∈ On ∧ (𝑎 +o 𝐵) ∈ On) → (Ord (𝑎 +o 𝑏) ∧ Ord (𝑎 +o 𝐵)))
5330, 49, 52syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (Ord (𝑎 +o 𝑏) ∧ Ord (𝑎 +o 𝐵)))
5445, 25jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝐵 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On))
5526adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
56 oaordi 8547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (𝑏𝐵 → (𝑎 +o 𝑏) ∈ (𝑎 +o 𝐵)))
5754, 55, 56sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝑎 +o 𝑏) ∈ (𝑎 +o 𝐵))
58 ordelpss 6386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Ord (𝑎 +o 𝑏) ∧ Ord (𝑎 +o 𝐵)) → ((𝑎 +o 𝑏) ∈ (𝑎 +o 𝐵) ↔ (𝑎 +o 𝑏) ⊊ (𝑎 +o 𝐵)))
5958biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Ord (𝑎 +o 𝑏) ∧ Ord (𝑎 +o 𝐵)) → ((𝑎 +o 𝑏) ∈ (𝑎 +o 𝐵) → (𝑎 +o 𝑏) ⊊ (𝑎 +o 𝐵)))
6053, 57, 59sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝑎 +o 𝑏) ⊊ (𝑎 +o 𝐵))
6160pssssd 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → (𝑎 +o 𝑏) ⊆ (𝑎 +o 𝐵))
6261sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝐵))
6362anim1ci 615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) ∧ 𝑎𝑧) → (𝑎𝑧𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝐵)))
64 oawordex2 42652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝑧𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝐵))) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 +o 𝑦) = 𝑧)
6547, 63, 64syl2an2r 682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) ∧ 𝑎𝑧) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 +o 𝑦) = 𝑧)
66 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑎 → (𝑤 +o 𝑦) = (𝑎 +o 𝑦))
6766eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑤 +o 𝑦) ↔ 𝑧 = (𝑎 +o 𝑦)))
68 eqcom 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝑎 +o 𝑦) ↔ (𝑎 +o 𝑦) = 𝑧)
6967, 68bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑤 +o 𝑦) ↔ (𝑎 +o 𝑦) = 𝑧))
7069rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑎 → (∃𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦) ↔ ∃𝑦𝐵 (𝑎 +o 𝑦) = 𝑧))
7170rspcev 3606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎𝐴 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝑎 +o 𝑦) = 𝑧) → ∃𝑤𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦))
7214, 65, 71syl2an2r 682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) ∧ 𝑎𝑧) → ∃𝑤𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦))
73 eloni 6368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ On → Ord 𝑧)
7432, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → Ord 𝑧)
75 eloni 6368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ On → Ord 𝑎)
7625, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → Ord 𝑎)
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → Ord 𝑎)
78 ordtri2or 6456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑎) → (𝑧𝑎𝑎𝑧))
7974, 77, 78syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → (𝑧𝑎𝑎𝑧))
8044, 72, 79mpjaodan 955 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → ∃𝑤𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦))
81 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 ∈ V
82 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑎 +o 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 +o 𝑏)))
83822rexbidv 3213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 +o 𝑏)))
84 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑤 → (𝑎 +o 𝑏) = (𝑤 +o 𝑏))
8584eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 +o 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑤 +o 𝑏)))
86 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑦 → (𝑤 +o 𝑏) = (𝑤 +o 𝑦))
8786eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 = (𝑤 +o 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦)))
8885, 87cbvrex2vw 3233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 +o 𝑏) ↔ ∃𝑤𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦))
8983, 88bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏) ↔ ∃𝑤𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦)))
9081, 89elab 3663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ↔ ∃𝑤𝐴𝑦𝐵 𝑧 = (𝑤 +o 𝑦))
9180, 90sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
9291ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
9392adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏)) → ∀𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
94 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏))
9594raleqdv 3319 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏)) → (∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑎 +o 𝑏)𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}))
9693, 95mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏)) → ∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
9796exp31 419 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑦 = (𝑎 +o 𝑏) → ∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})))
9897expdimp 452 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑏𝐵 → (𝑦 = (𝑎 +o 𝑏) → ∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})))
996, 12, 98rexlimd 3257 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝑎𝐴) → (∃𝑏𝐵 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏) → ∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}))
10099ex 412 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑎𝐴 → (∃𝑏𝐵 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏) → ∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})))
1011, 5, 100rexlimd 3257 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏) → ∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}))
102101alrimiv 1922 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ∀𝑦(∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏) → ∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}))
103 eqeq1 2730 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑎 +o 𝑏) ↔ 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏)))
1041032rexbidv 3213 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏)))
105104ralab 3682 . . . 4 (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ↔ ∀𝑦(∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑦 = (𝑎 +o 𝑏) → ∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}))
106102, 105sylibr 233 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
107 dftr5 5262 . . 3 (Tr {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}∀𝑧𝑦 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
108106, 107sylibr 233 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → Tr {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
109 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏))
11030adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)) → (𝑎 +o 𝑏) ∈ On)
111109, 110eqeltrd 2827 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑥 ∈ On)
112111exp31 419 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑥 = (𝑎 +o 𝑏) → 𝑥 ∈ On)))
113112rexlimdvv 3204 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏) → 𝑥 ∈ On))
114113abssdv 4060 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ⊆ On)
115 epweon 7759 . . 3 E We On
116 wess 5656 . . 3 ({𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ⊆ On → ( E We On → E We {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}))
117114, 115, 116mpisyl 21 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → E We {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
118 df-ord 6361 . 2 (Ord {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ↔ (Tr {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ∧ E We {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)}))
119108, 117, 118sylanbrc 582 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → Ord {𝑥 ∣ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 844  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2703  wne 2934  wral 3055  wrex 3064  wss 3943  wpss 3944  c0 4317  Tr wtr 5258   E cep 5572   We wwe 5623  Ord word 6357  Oncon0 6358  (class class class)co 7405   +o coa 8464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-oadd 8471
This theorem is referenced by:  oaun3lem3  42702
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