Theorem ordsseleq 6231

Description: For ordinal classes, inclusion is equivalent to membership or equality. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsseleq	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem ordsseleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspss 4004	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		ordelpss 6230	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))
3	2	orbi1d 917	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
4	1, 3	bitr4id 293	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3857   ⊊ wpss 3858  Ord word 6201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-11 2158  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pr 5311

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2071  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3403  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-sn 4532  df-pr 4534  df-op 4538  df-uni 4810  df-br 5044  df-opab 5106  df-tr 5151  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-ord 6205

This theorem is referenced by:  ordtri3or  6234  ordtri1  6235  ordtri2  6237  onsseleq  6243  ordsssuc  6288  ordsson  7556  ordsucelsuc  7590  limom  7649  onfununi  8067  cfslbn  9864  noextenddif  33565  finxpsuclem  35262