Theorem ordsseleq 6354

Description: For ordinal classes, inclusion is equivalent to membership or equality. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsseleq	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem ordsseleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspss 4056	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		ordelpss 6353	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊊ 𝐵))
3	2	orbi1d 917	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ↔ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
4	1, 3	bitr4id 290	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904  Ord word 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328

This theorem is referenced by:  ordtri3or  6357  ordtri1  6358  ordtri2  6360  onsseleq  6366  ordsssuc  6416  ordsson  7738  ordsucelsuc  7774  limom  7834  onfununi  8283  cfslbn  10189  noextenddif  27648  oldfib  28385  finxpsuclem  37649  ordsssucim  43756