Theorem nndomogOLD 9261

Description: Obsolete version of nndomog 9251 as of 29-Nov-2024. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.) Generalize from nndomo 9267. (Revised by RP, 5-Nov-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nndomogOLD	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem nndomogOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php2 9246	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
2	1	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝐴))
3		domnsym 9138	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
4	2, 3	nsyli 157	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
6		nnord 7895	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7		eloni 6396	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
8		ordtri1 6419	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
9		ordelpss 6414	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
10	9	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
11	10	notbid 318	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
12	8, 11	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
13	6, 7, 12	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
14	5, 13	sylibrd 259	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
15		ssdomg 9039	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
17	14, 16	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963   ⊊ wpss 3964   class class class wbr 5148  Ord word 6385  Oncon0 6386  ωcom 7887   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988

This theorem is referenced by: (None)