MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndomogOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndomogOLD 9170
Description: Obsolete version of nndomog 9160 as of 29-Nov-2024. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.) Generalize from nndomo 9177. (Revised by RP, 5-Nov-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nndomogOLD ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem nndomogOLD
StepHypRef Expression
1 php2 9155 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
21ex 413 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
3 domnsym 9043 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
42, 3nsyli 157 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
54adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
6 nnord 7810 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7 eloni 6327 . . . 4 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
8 ordtri1 6350 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
9 ordelpss 6345 . . . . . . 7 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
109ancoms 459 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
1110notbid 317 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
128, 11bitrd 278 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
136, 7, 12syl2an 596 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
145, 13sylibrd 258 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
15 ssdomg 8940 . . 3 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1615adantl 482 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1714, 16impbid 211 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wss 3910  wpss 3911   class class class wbr 5105  Ord word 6316  Oncon0 6317  ωcom 7802  cdom 8881  csdm 8882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-om 7803  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator