Theorem php4 9179

Description: Corollary of the Pigeonhole Principle php 9176: a natural number is strictly dominated by its successor. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
php4	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)

Proof of Theorem php4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucidg 6417	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2		nnord 7852	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
3		ordsuc 7790	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
4	3	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
5		ordelpss 6362	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴) → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
6	2, 4, 5	syl2anc2 585	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
7	1, 6	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)
8		peano2b 7861	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
9		php2 9177	. . 3 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
10	8, 9	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
11	7, 10	mpdan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   ⊊ wpss 3917   class class class wbr 5109  Ord word 6333  suc csuc 6336  ωcom 7844   ≺ csdm 8919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-om 7845  df-1o 8436  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924

This theorem is referenced by:  php5  9180  sucdom  9188  sucdomOLD  9189  1sdom2ALT  9194  domalom  37387