Theorem php4 9194

Description: Corollary of the Pigeonhole Principle php 9191: a natural number is strictly dominated by its successor. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
php4	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)

Proof of Theorem php4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucidg 6445	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2		nnord 7870	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
3		ordsuc 7810	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
4	3	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
5		ordelpss 6389	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴) → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
6	2, 4, 5	syl2anc2 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
7	1, 6	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)
8		peano2b 7879	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
9		php2 9192	. . 3 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
10	8, 9	sylanb 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
11	7, 10	mpdan 699	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2149   ⊊ wpss 3914   class class class wbr 5113  Ord word 6360  suc csuc 6363  ωcom 7862   ≺ csdm 8942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7863  df-1o 8453  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947

This theorem is referenced by:  php5  9195  sucdom  9204  1sdom2ALT  9209  domalom  37972