Theorem php4 9119

Description: Corollary of the Pigeonhole Principle php 9116: a natural number is strictly dominated by its successor. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
php4	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)

Proof of Theorem php4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucidg 6389	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2		nnord 7804	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
3		ordsuc 7744	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
4	3	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
5		ordelpss 6334	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴) → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
6	2, 4, 5	syl2anc2 585	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
7	1, 6	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)
8		peano2b 7813	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
9		php2 9117	. . 3 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
10	8, 9	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
11	7, 10	mpdan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111   ⊊ wpss 3898   class class class wbr 5089  Ord word 6305  suc csuc 6308  ωcom 7796   ≺ csdm 8868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-om 7797  df-1o 8385  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873

This theorem is referenced by:  php5  9120  sucdom  9128  1sdom2ALT  9133  domalom  37448