MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  php4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem php4 9209
Description: Corollary of the Pigeonhole Principle php 9206: a natural number is strictly dominated by its successor. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
php4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)

Proof of Theorem php4
StepHypRef Expression
1 sucidg 6442 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2 nnord 7859 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
3 ordsuc 7797 . . . . 5 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
43biimpi 215 . . . 4 (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
5 ordelpss 6389 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴) → (𝐴 ∈ suc 𝐴𝐴 ⊊ suc 𝐴))
62, 4, 5syl2anc2 585 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝐴𝐴 ⊊ suc 𝐴))
71, 6mpbid 231 . 2 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)
8 peano2b 7868 . . 3 (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
9 php2 9207 . . 3 ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
108, 9sylanb 581 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
117, 10mpdan 685 1 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2106  wpss 3948   class class class wbr 5147  Ord word 6360  suc csuc 6363  ωcom 7851  csdm 8934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1o 8462  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939
This theorem is referenced by:  php5  9210  sucdom  9231  sucdomOLD  9232  1sdom2ALT  9237  domalom  36273
  Copyright terms: Public domain W3C validator