Theorem php4 8416

Description: Corollary of the Pigeonhole Principle php 8413: a natural number is strictly dominated by its successor. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
php4	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)

Proof of Theorem php4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucidg 6041	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2		nnord 7334	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
3		ordsuc 7275	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
4	3	biimpi 208	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
5	4	ancli 544	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴))
6		ordelpss 5991	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴) → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
7	2, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
8	1, 7	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)
9		peano2b 7342	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
10		php2 8414	. . 3 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
11	9, 10	sylanb 576	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
12	8, 11	mpdan 678	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∈ wcel 2164   ⊊ wpss 3799   class class class wbr 4873  Ord word 5962  suc csuc 5965  ωcom 7326   ≺ csdm 8221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-om 7327  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225

This theorem is referenced by:  php5  8417  sucdom  8426  1sdom2  8428