MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  php4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem php4 8695
Description: Corollary of the Pigeonhole Principle php 8692: a natural number is strictly dominated by its successor. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
php4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)

Proof of Theorem php4
StepHypRef Expression
1 sucidg 6256 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2 nnord 7578 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
3 ordsuc 7519 . . . . 5 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
43biimpi 219 . . . 4 (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
5 ordelpss 6206 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴) → (𝐴 ∈ suc 𝐴𝐴 ⊊ suc 𝐴))
62, 4, 5syl2anc2 588 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝐴𝐴 ⊊ suc 𝐴))
71, 6mpbid 235 . 2 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)
8 peano2b 7586 . . 3 (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
9 php2 8693 . . 3 ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
108, 9sylanb 584 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
117, 10mpdan 686 1 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2115  wpss 3920   class class class wbr 5052  Ord word 6177  suc csuc 6180  ωcom 7570  csdm 8498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-om 7571  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502
This theorem is referenced by:  php5  8696  sucdom  8706  1sdom2  8708  domalom  34733
  Copyright terms: Public domain W3C validator