Theorem php4 9034

Description: Corollary of the Pigeonhole Principle php 9031: a natural number is strictly dominated by its successor. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
php4	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)

Proof of Theorem php4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucidg 6361	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2		nnord 7752	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
3		ordsuc 7693	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
4	3	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
5		ordelpss 6309	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴) → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
6	2, 4, 5	syl2anc2 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
7	1, 6	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)
8		peano2b 7761	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
9		php2 9032	. . 3 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
10	8, 9	sylanb 582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
11	7, 10	mpdan 685	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2104   ⊊ wpss 3893   class class class wbr 5081  Ord word 6280  suc csuc 6283  ωcom 7744   ≺ csdm 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3332  df-rab 3333  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-om 7745  df-1o 8328  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768

This theorem is referenced by:  php5  9035  sucdom  9056  sucdomOLD  9057  1sdom2OLD  9062  domalom  35623