Theorem onomeneq 8943

Description: An ordinal number equinumerous to a natural number is equal to it. Proposition 10.22 of [TakeutiZaring] p. 90 and its converse. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
onomeneq	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem onomeneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php5 8901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ¬ 𝐵 ≈ suc 𝐵)
2	1	ad2antlr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≈ suc 𝐵)
3		enen1 8853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ suc 𝐵))
4	3	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ suc 𝐵))
5	2, 4	mtbird 324	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
6		peano2 7711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
7		sssucid 6328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ⊆ suc 𝐵
8		ssdomg 8741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (suc 𝐵 ∈ ω → (𝐵 ⊆ suc 𝐵 → 𝐵 ≼ suc 𝐵))
9	6, 7, 8	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ≼ suc 𝐵)
10		endomtr 8753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ suc 𝐵) → 𝐴 ≼ suc 𝐵)
11	9, 10	sylan2 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ≼ suc 𝐵)
12	11	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ suc 𝐵)
13	12	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≼ suc 𝐵))
14	13	adantll 710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≼ suc 𝐵))
15		ssel 3910	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ω ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ 𝐴))
16	15	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
18		eloni 6261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
19		ordelsuc 7642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
20	18, 19	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
21	17, 20	sylibd 238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
22		ssdomg 8741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
24	21, 23	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
25	24	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
27	14, 26	jcad 512	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → (𝐴 ≼ suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ≼ 𝐴)))
28		sbth 8833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ suc 𝐵)
29	27, 28	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≈ suc 𝐵))
30	5, 29	mtod 197	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ ω ⊆ 𝐴)
31		ordom 7697	. . . . . . . . 9 ⊢ Ord ω
32		ordtri1 6284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝐴) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
33	31, 18, 32	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
34	33	con2bid 354	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ 𝐴))
35	34	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ 𝐴))
36	30, 35	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
37		simplr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ∈ ω)
38	36, 37	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
39		nneneq 8896	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
40	39	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
41	38, 40	sylancom 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
42	41	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
43		eqeng 8729	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
44	43	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
45	42, 44	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  Ord word 6250  Oncon0 6251  suc csuc 6253  ωcom 7687   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694

This theorem is referenced by:  onfin  8944  ficardom  9650  finnisoeu  9800