Theorem onomeneq 9123

Description: An ordinal number equinumerous to a natural number is equal to it. Proposition 10.22 of [TakeutiZaring] p. 90 and its converse. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.) Avoid ax-pow 5301. (Revised by BTernaryTau, 2-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onomeneq	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem onomeneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8901	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		nnfi 9077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ Fin)
3		domfi 9098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
4		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
5	3, 4	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵))
6		domnsymfi 9109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
7	6	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
8		php3 9118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
9	8	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝐴))
10	7, 9	nsyld 156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
12	11	expimpd 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
13	5, 12	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
14	2, 13	mpand 695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
16		eloni 6316	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
17		nnord 7804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
18		ordtri1 6339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
19		ordelpss 6334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
20	19	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
21	20	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
22	18, 21	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
23	16, 17, 22	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
24	15, 23	sylibrd 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
25	1, 24	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
26	25	3impia 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27		ensymfib 9093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
28	2, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
29		endom 8901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
30	28, 29	biimtrrdi 254	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
31	30	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
32	31	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
33		nndomog 9122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
34	33	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
35	34	biimp3a 1471	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
36	32, 35	syld3an3 1411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
37	26, 36	eqssd 3947	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
38	37	3expia 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
39		enrefnn 8968	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ≈ 𝐵)
40		breq1 5092	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐵))
41	39, 40	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
42	41	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
43	38, 42	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   ⊊ wpss 3898   class class class wbr 5089  Ord word 6305  Oncon0 6306  ωcom 7796   ≈ cen 8866   ≼ cdom 8867   ≺ csdm 8868  Fincfn 8869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-om 7797  df-1o 8385  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873

This theorem is referenced by:  onfin  9124  ficardom  9854  finnisoeu  10004