Theorem onomeneq 9128

Description: An ordinal number equinumerous to a natural number is equal to it. Proposition 10.22 of [TakeutiZaring] p. 90 and its converse. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.) Avoid ax-pow 5304. (Revised by BTernaryTau, 2-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onomeneq	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem onomeneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8904	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		nnfi 9081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ Fin)
3		domfi 9103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
4		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
5	3, 4	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵))
6		domnsymfi 9114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
7	6	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
8		php3 9123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
9	8	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝐴))
10	7, 9	nsyld 156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
12	11	expimpd 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
13	5, 12	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
14	2, 13	mpand 695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
16		eloni 6317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
17		nnord 7807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
18		ordtri1 6340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
19		ordelpss 6335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
20	19	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
21	20	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
22	18, 21	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
23	16, 17, 22	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
24	15, 23	sylibrd 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
25	1, 24	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
26	25	3impia 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27		ensymfib 9098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
28	2, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
29		endom 8904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
30	28, 29	biimtrrdi 254	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
31	30	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
32	31	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
33		nndomog 9127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
34	33	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
35	34	biimp3a 1471	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
36	32, 35	syld3an3 1411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
37	26, 36	eqssd 3953	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
38	37	3expia 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
39		enrefnn 8972	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ≈ 𝐵)
40		breq1 5095	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐵))
41	39, 40	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
42	41	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
43	38, 42	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904   class class class wbr 5092  Ord word 6306  Oncon0 6307  ωcom 7799   ≈ cen 8869   ≼ cdom 8870   ≺ csdm 8871  Fincfn 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-om 7800  df-1o 8388  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876

This theorem is referenced by:  onfin  9129  ficardom  9857  finnisoeu  10007