Theorem onomeneq 9205

Description: An ordinal number equinumerous to a natural number is equal to it. Proposition 10.22 of [TakeutiZaring] p. 90 and its converse. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.) Avoid ax-pow 5338. (Revised by BTernaryTau, 2-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onomeneq	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem onomeneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8982	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		nnfi 9159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ Fin)
3		domfi 9180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
4		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
5	3, 4	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵))
6		domnsymfi 9191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
7	6	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
8		php3 9200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
9	8	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝐴))
10	7, 9	nsyld 157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
12	11	expimpd 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
13	5, 12	syl5 35	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
14	2, 13	mpand 708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
15	14	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
16		eloni 6374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
17		nnord 7876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
18		ordtri1 6398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
19		ordelpss 6392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
20	19	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
21	20	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
22	18, 21	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
23	16, 17, 22	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
24	15, 23	sylibrd 262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
25	1, 24	syl5 35	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
26	25	3impia 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27		ensymfib 9175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
28	2, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
29		endom 8982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
30	28, 29	biimtrrdi 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
31	30	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
32	31	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
33		nndomog 9204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
34	33	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
35	34	biimp3a 1498	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
36	32, 35	syld3an3 1436	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
37	26, 36	eqssd 3955	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
38	37	3expia 1139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
39		enrefnn 9050	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ≈ 𝐵)
40		breq1 5114	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐵))
41	39, 40	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
42	41	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
43	38, 42	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   ⊊ wpss 3907   class class class wbr 5111  Ord word 6363  Oncon0 6364  ωcom 7868   ≈ cen 8946   ≼ cdom 8947   ≺ csdm 8948  Fincfn 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7869  df-1o 8459  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953

This theorem is used by:  onfin  9206  ficardom  9963  finnisoeu  10113