Theorem onomeneq 8438

Description: An ordinal number equinumerous to a natural number is equal to it. Proposition 10.22 of [TakeutiZaring] p. 90 and its converse. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
onomeneq	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem onomeneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php5 8436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ¬ 𝐵 ≈ suc 𝐵)
2	1	ad2antlr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≈ suc 𝐵)
3		enen1 8388	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ suc 𝐵))
4	3	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ suc 𝐵))
5	2, 4	mtbird 317	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
6		peano2 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
7		sssucid 6053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ⊆ suc 𝐵
8		ssdomg 8287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (suc 𝐵 ∈ ω → (𝐵 ⊆ suc 𝐵 → 𝐵 ≼ suc 𝐵))
9	6, 7, 8	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ≼ suc 𝐵)
10		endomtr 8299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ suc 𝐵) → 𝐴 ≼ suc 𝐵)
11	9, 10	sylan2 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ≼ suc 𝐵)
12	11	ancoms 452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ suc 𝐵)
13	12	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≼ suc 𝐵))
14	13	adantll 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≼ suc 𝐵))
15		ssel 3815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ω ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ 𝐴))
16	15	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
17	16	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
18		eloni 5986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
19		ordelsuc 7298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
20	18, 19	sylan2 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
21	17, 20	sylibd 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
22		ssdomg 8287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
23	22	adantl 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
24	21, 23	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
25	24	ancoms 452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
26	25	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
27	14, 26	jcad 508	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → (𝐴 ≼ suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ≼ 𝐴)))
28		sbth 8368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ suc 𝐵)
29	27, 28	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≈ suc 𝐵))
30	5, 29	mtod 190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ ω ⊆ 𝐴)
31		ordom 7352	. . . . . . . . 9 ⊢ Ord ω
32		ordtri1 6009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝐴) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
33	31, 18, 32	sylancr 581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
34	33	con2bid 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ 𝐴))
35	34	ad2antrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ 𝐴))
36	30, 35	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
37		simplr 759	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ∈ ω)
38	36, 37	jca 507	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
39		nneneq 8431	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
40	39	biimpa 470	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
41	38, 40	sylancom 582	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
42	41	ex 403	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
43		eqeng 8275	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
44	43	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
45	42, 44	impbid 204	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4886  Ord word 5975  Oncon0 5976  suc csuc 5978  ωcom 7343   ≈ cen 8238   ≼ cdom 8239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-om 7344  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244

This theorem is referenced by:  onfin  8439  ficardom  9120  finnisoeu  9269