Theorem onomeneq 8693

Description: An ordinal number equinumerous to a natural number is equal to it. Proposition 10.22 of [TakeutiZaring] p. 90 and its converse. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
onomeneq	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem onomeneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php5 8689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ¬ 𝐵 ≈ suc 𝐵)
2	1	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≈ suc 𝐵)
3		enen1 8641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ suc 𝐵))
4	3	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ suc 𝐵))
5	2, 4	mtbird 328	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐵)
6		peano2 7582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
7		sssucid 6236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ⊆ suc 𝐵
8		ssdomg 8538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (suc 𝐵 ∈ ω → (𝐵 ⊆ suc 𝐵 → 𝐵 ≼ suc 𝐵))
9	6, 7, 8	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ≼ suc 𝐵)
10		endomtr 8550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ suc 𝐵) → 𝐴 ≼ suc 𝐵)
11	9, 10	sylan2 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐴 ≼ suc 𝐵)
12	11	ancoms 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ suc 𝐵)
13	12	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≼ suc 𝐵))
14	13	adantll 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≼ suc 𝐵))
15		ssel 3908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ω ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ 𝐴))
16	15	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
17	16	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
18		eloni 6169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
19		ordelsuc 7515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
20	18, 19	sylan2 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
21	17, 20	sylibd 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ⊆ 𝐴))
22		ssdomg 8538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ On → (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
23	22	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (suc 𝐵 ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
24	21, 23	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
25	24	ancoms 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
26	25	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → suc 𝐵 ≼ 𝐴))
27	14, 26	jcad 516	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → (𝐴 ≼ suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ≼ 𝐴)))
28		sbth 8621	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ suc 𝐵)
29	27, 28	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (ω ⊆ 𝐴 → 𝐴 ≈ suc 𝐵))
30	5, 29	mtod 201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ ω ⊆ 𝐴)
31		ordom 7569	. . . . . . . . 9 ⊢ Ord ω
32		ordtri1 6192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝐴) → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
33	31, 18, 32	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → (ω ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ω))
34	33	con2bid 358	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ 𝐴))
35	34	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ 𝐴))
36	30, 35	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
37		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ∈ ω)
38	36, 37	jca 515	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
39		nneneq 8684	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
40	39	biimpa 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
41	38, 40	sylancom 591	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
42	41	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
43		eqeng 8526	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
44	43	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
45	42, 44	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  Ord word 6158  Oncon0 6159  suc csuc 6161  ωcom 7560   ≈ cen 8489   ≼ cdom 8490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495

This theorem is referenced by:  onfin  8694  ficardom  9374  finnisoeu  9524