Theorem onomeneq 9229

Description: An ordinal number equinumerous to a natural number is equal to it. Proposition 10.22 of [TakeutiZaring] p. 90 and its converse. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.) Avoid ax-pow 5327. (Revised by BTernaryTau, 2-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onomeneq	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem onomeneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 9006	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		nnfi 9183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ Fin)
3		domfi 9204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
4		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
5	3, 4	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵))
6		domnsymfi 9215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
7	6	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
8		php3 9224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
9	8	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝐴))
10	7, 9	nsyld 157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
12	11	expimpd 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
13	5, 12	syl5 35	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
14	2, 13	mpand 708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
15	14	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
16		eloni 6372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
17		nnord 7885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
18		ordtri1 6396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
19		ordelpss 6390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
20	19	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
21	20	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
22	18, 21	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
23	16, 17, 22	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
24	15, 23	sylibrd 262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
25	1, 24	syl5 35	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
26	25	3impia 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27		ensymfib 9199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
28	2, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
29		endom 9006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
30	28, 29	biimtrrdi 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
31	30	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
32	31	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
33		nndomog 9228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
34	33	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
35	34	biimp3a 1498	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
36	32, 35	syld3an3 1436	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
37	26, 36	eqssd 3948	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
38	37	3expia 1139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
39		enrefnn 9074	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ≈ 𝐵)
40		breq1 5106	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐵))
41	39, 40	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
42	41	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
43	38, 42	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900   class class class wbr 5103  Ord word 6361  Oncon0 6362  ωcom 7877   ≈ cen 8970   ≼ cdom 8971   ≺ csdm 8972  Fincfn 8973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1o 8476  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977

This theorem is used by:  onfin  9230  ficardom  10042  finnisoeu  10192