Theorem onomeneq 9230

Description: An ordinal number equinumerous to a natural number is equal to it. Proposition 10.22 of [TakeutiZaring] p. 90 and its converse. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.) Avoid ax-pow 5362. (Revised by BTernaryTau, 2-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onomeneq	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem onomeneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8977	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		nnfi 9169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ Fin)
3		domfi 9194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
4		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
5	3, 4	jca 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵))
6		domnsymfi 9205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
7	6	ex 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
8		php3 9214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
9	8	ex 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝐴))
10	7, 9	nsyld 156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
11	10	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
12	11	expimpd 452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
13	5, 12	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ω → ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
14	2, 13	mpand 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
15	14	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
16		eloni 6373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
17		nnord 7865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
18		ordtri1 6396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
19		ordelpss 6391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
20	19	ancoms 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
21	20	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
22	18, 21	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
23	16, 17, 22	syl2an 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
24	15, 23	sylibrd 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
25	1, 24	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
26	25	3impia 1115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27		ensymfib 9189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
28	2, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
29		endom 8977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
30	28, 29	syl6bir 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
31	30	imp 405	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
32	31	3adant1 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)
33		nndomog 9218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
34	33	ancoms 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
35	34	biimp3a 1467	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
36	32, 35	syld3an3 1407	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
37	26, 36	eqssd 3998	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
38	37	3expia 1119	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
39		enrefnn 9049	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ≈ 𝐵)
40		breq1 5150	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐵))
41	39, 40	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
42	41	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≈ 𝐵))
43	38, 42	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3947   ⊊ wpss 3948   class class class wbr 5147  Ord word 6362  Oncon0 6363  ωcom 7857   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940  Fincfn 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7858  df-1o 8468  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945

This theorem is referenced by:  onfin  9232  ficardom  9958  finnisoeu  10110