Theorem findcard3 9239

Description: Schema for strong induction on the cardinality of a finite set. The inductive hypothesis is that the result is true on any proper subset. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2013.) Avoid ax-pow 5336. (Revised by BTernaryTau, 7-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard3.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
findcard3.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
findcard3.3	⊢ (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑) → 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
findcard3	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝜒,𝑥   𝜏,𝑥   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem findcard3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8968	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑤)
2		nnon 7864	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ∈ On)
3		eleq1w 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∈ ω ↔ 𝑧 ∈ ω))
4		breq2 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ≈ 𝑤 ↔ 𝑥 ≈ 𝑧))
5	4	imbi1d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
6	5	albidv 1950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
7	3, 6	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)) ↔ (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑))))
8		rspe 3255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ ω 𝑦 ≈ 𝑤)
9		isfi 8968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝑦 ≈ 𝑤)
10	8, 9	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
11		19.21v 1969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
12	11	ralbii 3111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 ∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
13		ralcom4 3291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 ∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑥∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
14	12, 13	bitr3i 280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑥∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
15		pssss 4052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝑥 ⊆ 𝑦)
16		ssfi 9153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
17		isfi 8968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ ∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧)
18	16, 17	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧)
19	10, 15, 18	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧)
20		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ω)
21		nnfi 9148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ Fin)
22		ensymfib 9164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑧 ∈ Fin → (𝑧 ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 𝑧))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑧 ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 𝑧))
24	23	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝑧 ≈ 𝑥)
25	24	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ≈ 𝑥)
26		simplll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑤 ∈ ω)
27		php3 9189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → 𝑥 ≺ 𝑦)
28	10, 27	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → 𝑥 ≺ 𝑦)
29	28	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑥 ≺ 𝑦)
30		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑦 ≈ 𝑤)
31		endom 8972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ≈ 𝑤 → 𝑦 ≼ 𝑤)
32		nnfi 9148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ∈ Fin)
33		domfi 9169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
34	32, 33	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≼ 𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
35	34	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
36		sdomdom 8973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ≺ 𝑦 → 𝑥 ≼ 𝑦)
37		domfi 9169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ≼ 𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
38	36, 37	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ≺ 𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
39	38	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑤) → 𝑥 ∈ Fin)
40	35, 39	syld3an1 1437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑤) → 𝑥 ∈ Fin)
41		sdomdomtrfi 9181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑤) → 𝑥 ≺ 𝑤)
42	40, 41	syld3an1 1437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑤) → 𝑥 ≺ 𝑤)
43	31, 42	syl3an3 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → 𝑥 ≺ 𝑤)
44	26, 29, 30, 43	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑥 ≺ 𝑤)
45		endom 8972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ≈ 𝑥 → 𝑧 ≼ 𝑥)
46		domsdomtrfi 9182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ 𝑧 ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝑤) → 𝑧 ≺ 𝑤)
47	21, 46	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝑤) → 𝑧 ≺ 𝑤)
48	45, 47	syl3an2 1182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝑤) → 𝑧 ≺ 𝑤)
49	20, 25, 44, 48	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ≺ 𝑤)
50		nnsdomo 9199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑧 ≺ 𝑤 ↔ 𝑧 ⊊ 𝑤))
51		nnord 7866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
52		nnord 7866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ω → Ord 𝑤)
53		ordelpss 6388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑧 ⊊ 𝑤))
54	51, 52, 53	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑧 ⊊ 𝑤))
55	50, 54	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑧 ≺ 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤))
56	20, 26, 55	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → (𝑧 ≺ 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤))
57	49, 56	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
58	57	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑤))
59		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝑥 ≈ 𝑧)
60	58, 59	jca2 522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)))
61	60	reximdv2 3175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧))
62	19, 61	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧)
63		r19.29 3128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧))
64	63	expcom 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧 → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)))
65	62, 64	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)))
66		ordom 7868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ord ω
67		ordelss 6376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → 𝑤 ⊆ ω)
68	66, 67	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ⊆ ω)
69	68	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → 𝑤 ⊆ ω)
70	69	sseld 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑧 ∈ ω))
71		pm2.27 43	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
72	71	impd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝜑))
73	70, 72	syl6 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑤 → (((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝜑)))
74	73	rexlimdv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝜑))
75	65, 74	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜑))
76	75	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜑)))
77	76	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑)))
78	77	alimdv 1946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑥∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑)))
79	14, 78	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑)))
80		findcard3.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑) → 𝜒))
81	10, 79, 80	sylsyld 62	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜒))
82	81	impancom 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑))) → (𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒))
83	82	alrimiv 1957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑))) → ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒))
84	83	expcom 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒)))
85		breq1 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≈ 𝑤 ↔ 𝑦 ≈ 𝑤))
86		findcard3.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
87	85, 86	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ (𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒)))
88	87	cbvalvw 2066	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒))
89	84, 88	imbitrrdi 255	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)))
90	89	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ On → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑))))
91	7, 90	tfis2 7849	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ On → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)))
92	2, 91	mpcom 39	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑))
93	92	rgen 3081	. . . 4 ⊢ ∀𝑤 ∈ ω ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)
94		r19.29 3128	. . . 4 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ω ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ ∃𝑤 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤))
95	93, 94	mpan 702	. . 3 ⊢ (∃𝑤 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤))
96	1, 95	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤))
97		breq1 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝑤 ↔ 𝐴 ≈ 𝑤))
98		findcard3.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
99	97, 98	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ (𝐴 ≈ 𝑤 → 𝜏)))
100	99	spcgv 3555	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) → (𝐴 ≈ 𝑤 → 𝜏)))
101	100	impd 415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤) → 𝜏))
102	101	rexlimdvw 3171	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤) → 𝜏))
103	96, 102	mpd 16	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905   ⊊ wpss 3906   class class class wbr 5109  Ord word 6359  Oncon0 6360  ωcom 7858   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-1o 8449  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  marypha1lem  9389  pgpfac1  20147  pgpfac  20151  fbfinnfr  23998  wilthlem3  27234