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Theorem findcard3 8750
Description: Schema for strong induction on the cardinality of a finite set. The inductive hypothesis is that the result is true on any proper subset. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard3.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
findcard3.2 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
findcard3.3 (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥𝑦𝜑) → 𝜒))
Assertion
Ref Expression
findcard3 (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴   𝜏,𝑥   𝜒,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem findcard3
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8522 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝐴𝑤)
2 nnon 7574 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ∈ On)
3 eleq1w 2895 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∈ ω ↔ 𝑧 ∈ ω))
4 breq2 5062 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑥𝑤𝑥𝑧))
54imbi1d 343 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥𝑤𝜑) ↔ (𝑥𝑧𝜑)))
65albidv 1912 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)))
73, 6imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑)) ↔ (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑))))
8 rspe 3304 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → ∃𝑤 ∈ ω 𝑦𝑤)
9 isfi 8522 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝑦𝑤)
108, 9sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
11 19.21v 1931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ↔ (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)))
1211ralbii 3165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝑤𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ↔ ∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)))
13 ralcom4 3235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝑤𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ↔ ∀𝑥𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)))
1412, 13bitr3i 278 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) ↔ ∀𝑥𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)))
15 pssss 4071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝑦𝑥𝑦)
16 ssfi 8727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
17 isfi 8522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ Fin ↔ ∃𝑧 ∈ ω 𝑥𝑧)
1816, 17sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑥𝑧)
1910, 15, 18syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑥𝑧)
20 ensym 8547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥𝑧𝑧𝑥)
2120ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑧𝑥)
22 php3 8692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
2310, 22sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
24 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑦𝑤)
25 sdomentr 8640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥𝑦𝑦𝑤) → 𝑥𝑤)
2623, 24, 25syl2an2r 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑥𝑤)
27 ensdomtr 8642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧𝑥𝑥𝑤) → 𝑧𝑤)
2821, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑧𝑤)
29 nnon 7574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ On)
3029ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑧 ∈ On)
312ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑤 ∈ On)
32 sdomel 8653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ On) → (𝑧𝑤𝑧𝑤))
3330, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → (𝑧𝑤𝑧𝑤))
3428, 33mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑧𝑤)
3534ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧) → 𝑧𝑤))
36 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥𝑧)
3735, 36jca2 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧) → (𝑧𝑤𝑥𝑧)))
3837reximdv2 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (∃𝑧 ∈ ω 𝑥𝑧 → ∃𝑧𝑤 𝑥𝑧))
3919, 38mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑧𝑤 𝑥𝑧)
40 r19.29 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ ∃𝑧𝑤 𝑥𝑧) → ∃𝑧𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧))
4140expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑧𝑤 𝑥𝑧 → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → ∃𝑧𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧)))
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → ∃𝑧𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧)))
43 ordom 7577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ord ω
44 ordelss 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Ord ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → 𝑤 ⊆ ω)
4543, 44mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ⊆ ω)
4645ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑤 ⊆ ω)
4746sseld 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑧𝑤𝑧 ∈ ω))
48 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ω → ((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → (𝑥𝑧𝜑)))
4948impd 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ω → (((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝜑))
5047, 49syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑧𝑤 → (((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝜑)))
5150rexlimdv 3283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (∃𝑧𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝜑))
5242, 51syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → 𝜑))
5352ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → (𝑥𝑦 → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → 𝜑)))
5453com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → (𝑥𝑦𝜑)))
5554alimdv 1908 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → (∀𝑥𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → ∀𝑥(𝑥𝑦𝜑)))
5614, 55syl5bi 243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) → ∀𝑥(𝑥𝑦𝜑)))
57 findcard3.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥𝑦𝜑) → 𝜒))
5810, 56, 57sylsyld 61 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) → 𝜒))
5958impancom 452 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ω ∧ ∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑))) → (𝑦𝑤𝜒))
6059alrimiv 1919 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ω ∧ ∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑))) → ∀𝑦(𝑦𝑤𝜒))
6160expcom 414 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑦(𝑦𝑤𝜒)))
62 breq1 5061 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑤𝑦𝑤))
63 findcard3.1 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
6462, 63imbi12d 346 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑤𝜑) ↔ (𝑦𝑤𝜒)))
6564cbvalvw 2034 . . . . . . . . 9 (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑦𝑤𝜒))
6661, 65syl6ibr 253 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑)))
6766a1i 11 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ On → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑))))
687, 67tfis2 7559 . . . . . 6 (𝑤 ∈ On → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑)))
692, 68mpcom 38 . . . . 5 (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑))
7069rgen 3148 . . . 4 𝑤 ∈ ω ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑)
71 r19.29 3254 . . . 4 ((∀𝑤 ∈ ω ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ ∃𝑤 ∈ ω 𝐴𝑤) → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ 𝐴𝑤))
7270, 71mpan 686 . . 3 (∃𝑤 ∈ ω 𝐴𝑤 → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ 𝐴𝑤))
731, 72sylbi 218 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ 𝐴𝑤))
74 breq1 5061 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑤𝐴𝑤))
75 findcard3.2 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
7674, 75imbi12d 346 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑤𝜑) ↔ (𝐴𝑤𝜏)))
7776spcgv 3595 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) → (𝐴𝑤𝜏)))
7877impd 411 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ 𝐴𝑤) → 𝜏))
7978rexlimdvw 3290 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ 𝐴𝑤) → 𝜏))
8073, 79mpd 15 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wal 1526   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3138  wrex 3139  wss 3935  wpss 3936   class class class wbr 5058  Ord word 6184  Oncon0 6185  ωcom 7568  cen 8495  csdm 8497  Fincfn 8498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-om 7569  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502
This theorem is referenced by:  marypha1lem  8886  pgpfac1  19133  pgpfac  19137  fbfinnfr  22379  wilthlem3  25575
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