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Theorem findcard3 9280
Description: Schema for strong induction on the cardinality of a finite set. The inductive hypothesis is that the result is true on any proper subset. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2013.) Avoid ax-pow 5353. (Revised by BTernaryTau, 7-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard3.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
findcard3.2 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
findcard3.3 (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥𝑦𝜑) → 𝜒))
Assertion
Ref Expression
findcard3 (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝜒,𝑥   𝜏,𝑥   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem findcard3
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8967 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝐴𝑤)
2 nnon 7854 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ∈ On)
3 eleq1w 2808 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∈ ω ↔ 𝑧 ∈ ω))
4 breq2 5142 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑥𝑤𝑥𝑧))
54imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥𝑤𝜑) ↔ (𝑥𝑧𝜑)))
65albidv 1915 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)))
73, 6imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑)) ↔ (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑))))
8 rspe 3238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → ∃𝑤 ∈ ω 𝑦𝑤)
9 isfi 8967 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝑦𝑤)
108, 9sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
11 19.21v 1934 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ↔ (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)))
1211ralbii 3085 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝑤𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ↔ ∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)))
13 ralcom4 3275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝑤𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ↔ ∀𝑥𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)))
1412, 13bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) ↔ ∀𝑥𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)))
15 pssss 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝑦𝑥𝑦)
16 ssfi 9168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
17 isfi 8967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ Fin ↔ ∃𝑧 ∈ ω 𝑥𝑧)
1816, 17sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑥𝑧)
1910, 15, 18syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑥𝑧)
20 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑧 ∈ ω)
21 nnfi 9162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ Fin)
22 ensymfib 9182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ Fin → (𝑧𝑥𝑥𝑧))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ ω → (𝑧𝑥𝑥𝑧))
2423biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧) → 𝑧𝑥)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑧𝑥)
26 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑤 ∈ ω)
27 php3 9207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
2810, 27sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑥𝑦)
30 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑦𝑤)
31 endom 8970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦𝑤𝑦𝑤)
32 nnfi 9162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ∈ Fin)
33 domfi 9187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
3432, 33sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
35343adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑥𝑦𝑦𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
36 sdomdom 8971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥𝑦𝑥𝑦)
37 domfi 9187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
3836, 37sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
39383adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑦𝑦𝑤) → 𝑥 ∈ Fin)
4035, 39syld3an1 1407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑥𝑦𝑦𝑤) → 𝑥 ∈ Fin)
41 sdomdomtrfi 9199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑦𝑦𝑤) → 𝑥𝑤)
4240, 41syld3an1 1407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑥𝑦𝑦𝑤) → 𝑥𝑤)
4331, 42syl3an3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑥𝑦𝑦𝑤) → 𝑥𝑤)
4426, 29, 30, 43syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑥𝑤)
45 endom 8970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧𝑥𝑧𝑥)
46 domsdomtrfi 9200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑥𝑥𝑤) → 𝑧𝑤)
4721, 46syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧𝑥𝑥𝑤) → 𝑧𝑤)
4845, 47syl3an2 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧𝑥𝑥𝑤) → 𝑧𝑤)
4920, 25, 44, 48syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑧𝑤)
50 nnsdomo 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑧𝑤𝑧𝑤))
51 nnord 7856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
52 nnord 7856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ω → Ord 𝑤)
53 ordelpss 6382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤) → (𝑧𝑤𝑧𝑤))
5451, 52, 53syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑧𝑤𝑧𝑤))
5550, 54bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑧𝑤𝑧𝑤))
5620, 26, 55syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → (𝑧𝑤𝑧𝑤))
5749, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧)) → 𝑧𝑤)
5857ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧) → 𝑧𝑤))
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥𝑧)
6058, 59jca2 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥𝑧) → (𝑧𝑤𝑥𝑧)))
6160reximdv2 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (∃𝑧 ∈ ω 𝑥𝑧 → ∃𝑧𝑤 𝑥𝑧))
6219, 61mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → ∃𝑧𝑤 𝑥𝑧)
63 r19.29 3106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ ∃𝑧𝑤 𝑥𝑧) → ∃𝑧𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧))
6463expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑧𝑤 𝑥𝑧 → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → ∃𝑧𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧)))
6562, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → ∃𝑧𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧)))
66 ordom 7858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ord ω
67 ordelss 6370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Ord ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → 𝑤 ⊆ ω)
6866, 67mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ⊆ ω)
6968ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑤 ⊆ ω)
7069sseld 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑧𝑤𝑧 ∈ ω))
71 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ω → ((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → (𝑥𝑧𝜑)))
7271impd 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ω → (((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝜑))
7370, 72syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑧𝑤 → (((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝜑)))
7473rexlimdv 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (∃𝑧𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝜑))
7565, 74syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) ∧ 𝑥𝑦) → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → 𝜑))
7675ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → (𝑥𝑦 → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → 𝜑)))
7776com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → (𝑥𝑦𝜑)))
7877alimdv 1911 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → (∀𝑥𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥𝑧𝜑)) → ∀𝑥(𝑥𝑦𝜑)))
7914, 78biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) → ∀𝑥(𝑥𝑦𝜑)))
80 findcard3.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥𝑦𝜑) → 𝜒))
8110, 79, 80sylsyld 61 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦𝑤) → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) → 𝜒))
8281impancom 451 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ω ∧ ∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑))) → (𝑦𝑤𝜒))
8382alrimiv 1922 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ω ∧ ∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑))) → ∀𝑦(𝑦𝑤𝜒))
8483expcom 413 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑦(𝑦𝑤𝜒)))
85 breq1 5141 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑤𝑦𝑤))
86 findcard3.1 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
8785, 86imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑤𝜑) ↔ (𝑦𝑤𝜒)))
8887cbvalvw 2031 . . . . . . . . 9 (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑦𝑤𝜒))
8984, 88imbitrrdi 251 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑)))
9089a1i 11 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ On → (∀𝑧𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑧𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑))))
917, 90tfis2 7839 . . . . . 6 (𝑤 ∈ On → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑)))
922, 91mpcom 38 . . . . 5 (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑))
9392rgen 3055 . . . 4 𝑤 ∈ ω ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑)
94 r19.29 3106 . . . 4 ((∀𝑤 ∈ ω ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ ∃𝑤 ∈ ω 𝐴𝑤) → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ 𝐴𝑤))
9593, 94mpan 687 . . 3 (∃𝑤 ∈ ω 𝐴𝑤 → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ 𝐴𝑤))
961, 95sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ 𝐴𝑤))
97 breq1 5141 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑤𝐴𝑤))
98 findcard3.2 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
9997, 98imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑤𝜑) ↔ (𝐴𝑤𝜏)))
10099spcgv 3578 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) → (𝐴𝑤𝜏)))
101100impd 410 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ 𝐴𝑤) → 𝜏))
102101rexlimdvw 3152 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ∧ 𝐴𝑤) → 𝜏))
10396, 102mpd 15 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  wrex 3062  wss 3940  wpss 3941   class class class wbr 5138  Ord word 6353  Oncon0 6354  ωcom 7848  cen 8931  cdom 8932  csdm 8933  Fincfn 8934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7849  df-1o 8461  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938
This theorem is referenced by:  marypha1lem  9423  pgpfac1  19991  pgpfac  19995  fbfinnfr  23666  wilthlem3  26917
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