Theorem findcard3 8745

Description: Schema for strong induction on the cardinality of a finite set. The inductive hypothesis is that the result is true on any proper subset. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard3.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
findcard3.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
findcard3.3	⊢ (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑) → 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
findcard3	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴   𝜏,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem findcard3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8516	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑤)
2		nnon 7566	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ∈ On)
3		eleq1w 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∈ ω ↔ 𝑧 ∈ ω))
4		breq2 5034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ≈ 𝑤 ↔ 𝑥 ≈ 𝑧))
5	4	imbi1d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
6	5	albidv 1921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
7	3, 6	imbi12d 348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)) ↔ (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑))))
8		rspe 3263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ ω 𝑦 ≈ 𝑤)
9		isfi 8516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝑦 ≈ 𝑤)
10	8, 9	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
11		19.21v 1940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
12	11	ralbii 3133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 ∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
13		ralcom4 3198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 ∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑥∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
14	12, 13	bitr3i 280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑥∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
15		pssss 4023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝑥 ⊆ 𝑦)
16		ssfi 8722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
17		isfi 8516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ ∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧)
18	16, 17	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧)
19	10, 15, 18	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧)
20		ensym 8541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝑧 ≈ 𝑥)
21	20	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ≈ 𝑥)
22		php3 8687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → 𝑥 ≺ 𝑦)
23	10, 22	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → 𝑥 ≺ 𝑦)
24		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑦 ≈ 𝑤)
25		sdomentr 8635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → 𝑥 ≺ 𝑤)
26	23, 24, 25	syl2an2r 684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑥 ≺ 𝑤)
27		ensdomtr 8637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝑤) → 𝑧 ≺ 𝑤)
28	21, 26, 27	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ≺ 𝑤)
29		nnon 7566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ On)
30	29	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ On)
31	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑤 ∈ On)
32		sdomel 8648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ On ∧ 𝑤 ∈ On) → (𝑧 ≺ 𝑤 → 𝑧 ∈ 𝑤))
33	30, 31, 32	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → (𝑧 ≺ 𝑤 → 𝑧 ∈ 𝑤))
34	28, 33	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
35	34	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑤))
36		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝑥 ≈ 𝑧)
37	35, 36	jca2 517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)))
38	37	reximdv2 3230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧))
39	19, 38	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧)
40		r19.29 3216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧))
41	40	expcom 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧 → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)))
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)))
43		ordom 7569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ord ω
44		ordelss 6175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → 𝑤 ⊆ ω)
45	43, 44	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ⊆ ω)
46	45	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → 𝑤 ⊆ ω)
47	46	sseld 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑧 ∈ ω))
48		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
49	48	impd 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝜑))
50	47, 49	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑤 → (((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝜑)))
51	50	rexlimdv 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝜑))
52	42, 51	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜑))
53	52	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜑)))
54	53	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑)))
55	54	alimdv 1917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑥∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑)))
56	14, 55	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑)))
57		findcard3.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑) → 𝜒))
58	10, 56, 57	sylsyld 61	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜒))
59	58	impancom 455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑))) → (𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒))
60	59	alrimiv 1928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑))) → ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒))
61	60	expcom 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒)))
62		breq1 5033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≈ 𝑤 ↔ 𝑦 ≈ 𝑤))
63		findcard3.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
64	62, 63	imbi12d 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ (𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒)))
65	64	cbvalvw 2043	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒))
66	61, 65	syl6ibr 255	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)))
67	66	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ On → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑))))
68	7, 67	tfis2 7551	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ On → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)))
69	2, 68	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑))
70	69	rgen 3116	. . . 4 ⊢ ∀𝑤 ∈ ω ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)
71		r19.29 3216	. . . 4 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ω ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ ∃𝑤 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤))
72	70, 71	mpan 689	. . 3 ⊢ (∃𝑤 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤))
73	1, 72	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤))
74		breq1 5033	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝑤 ↔ 𝐴 ≈ 𝑤))
75		findcard3.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
76	74, 75	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ (𝐴 ≈ 𝑤 → 𝜏)))
77	76	spcgv 3543	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) → (𝐴 ≈ 𝑤 → 𝜏)))
78	77	impd 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤) → 𝜏))
79	78	rexlimdvw 3249	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤) → 𝜏))
80	73, 79	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881   ⊊ wpss 3882   class class class wbr 5030  Ord word 6158  Oncon0 6159  ωcom 7560   ≈ cen 8489   ≺ csdm 8491  Fincfn 8492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496

This theorem is referenced by:  marypha1lem  8881  pgpfac1  19195  pgpfac  19199  fbfinnfr  22446  wilthlem3  25655