Theorem findcard3 9195

Description: Schema for strong induction on the cardinality of a finite set. The inductive hypothesis is that the result is true on any proper subset. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2013.) Avoid ax-pow 5312. (Revised by BTernaryTau, 7-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard3.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
findcard3.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
findcard3.3	⊢ (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑) → 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
findcard3	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝜒,𝑥   𝜏,𝑥   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem findcard3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8924	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑤)
2		nnon 7824	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ∈ On)
3		eleq1w 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 ∈ ω ↔ 𝑧 ∈ ω))
4		breq2 5104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ≈ 𝑤 ↔ 𝑥 ≈ 𝑧))
5	4	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
6	5	albidv 1922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
7	3, 6	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)) ↔ (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑))))
8		rspe 3228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ ω 𝑦 ≈ 𝑤)
9		isfi 8924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝑦 ≈ 𝑤)
10	8, 9	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
11		19.21v 1941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
12	11	ralbii 3084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 ∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
13		ralcom4 3264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 ∀𝑥(𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑥∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
14	12, 13	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ↔ ∀𝑥∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
15		pssss 4052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝑥 ⊆ 𝑦)
16		ssfi 9109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
17		isfi 8924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ ∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧)
18	16, 17	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧)
19	10, 15, 18	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧)
20		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ ω)
21		nnfi 9104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ Fin)
22		ensymfib 9120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑧 ∈ Fin → (𝑧 ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 𝑧))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑧 ≈ 𝑥 ↔ 𝑥 ≈ 𝑧))
24	23	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝑧 ≈ 𝑥)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ≈ 𝑥)
26		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑤 ∈ ω)
27		php3 9145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → 𝑥 ≺ 𝑦)
28	10, 27	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → 𝑥 ≺ 𝑦)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑥 ≺ 𝑦)
30		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑦 ≈ 𝑤)
31		endom 8928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ≈ 𝑤 → 𝑦 ≼ 𝑤)
32		nnfi 9104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ∈ Fin)
33		domfi 9125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≼ 𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
34	32, 33	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≼ 𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
35	34	3adant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑤) → 𝑦 ∈ Fin)
36		sdomdom 8929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ≺ 𝑦 → 𝑥 ≼ 𝑦)
37		domfi 9125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ≼ 𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
38	36, 37	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ≺ 𝑦) → 𝑥 ∈ Fin)
39	38	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑤) → 𝑥 ∈ Fin)
40	35, 39	syld3an1 1413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑤) → 𝑥 ∈ Fin)
41		sdomdomtrfi 9137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑤) → 𝑥 ≺ 𝑤)
42	40, 41	syld3an1 1413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑤) → 𝑥 ≺ 𝑤)
43	31, 42	syl3an3 1166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑥 ≺ 𝑦 ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → 𝑥 ≺ 𝑤)
44	26, 29, 30, 43	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑥 ≺ 𝑤)
45		endom 8928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ≈ 𝑥 → 𝑧 ≼ 𝑥)
46		domsdomtrfi 9138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ 𝑧 ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝑤) → 𝑧 ≺ 𝑤)
47	21, 46	syl3an1 1164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝑤) → 𝑧 ≺ 𝑤)
48	45, 47	syl3an2 1165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝑤) → 𝑧 ≺ 𝑤)
49	20, 25, 44, 48	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ≺ 𝑤)
50		nnsdomo 9155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑧 ≺ 𝑤 ↔ 𝑧 ⊊ 𝑤))
51		nnord 7826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 ∈ ω → Ord 𝑧)
52		nnord 7826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ω → Ord 𝑤)
53		ordelpss 6353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤) → (𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑧 ⊊ 𝑤))
54	51, 52, 53	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑧 ⊊ 𝑤))
55	50, 54	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑧 ≺ 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤))
56	20, 26, 55	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → (𝑧 ≺ 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤))
57	49, 56	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
58	57	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑤))
59		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝑥 ≈ 𝑧)
60	58, 59	jca2 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)))
61	60	reximdv2 3148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ω 𝑥 ≈ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧))
62	19, 61	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧)
63		r19.29 3101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧))
64	63	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑤 𝑥 ≈ 𝑧 → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)))
65	62, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧)))
66		ordom 7828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ord ω
67		ordelss 6341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → 𝑤 ⊆ ω)
68	66, 67	mpan 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ ω → 𝑤 ⊆ ω)
69	68	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → 𝑤 ⊆ ω)
70	69	sseld 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑤 → 𝑧 ∈ ω))
71		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)))
72	71	impd 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝜑))
73	70, 72	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑤 → (((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝜑)))
74	73	rexlimdv 3137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∃𝑧 ∈ 𝑤 ((𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) ∧ 𝑥 ≈ 𝑧) → 𝜑))
75	65, 74	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) ∧ 𝑥 ⊊ 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜑))
76	75	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜑)))
77	76	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑)))
78	77	alimdv 1918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑥∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → (𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑)))
79	14, 78	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑)))
80		findcard3.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝑦 → 𝜑) → 𝜒))
81	10, 79, 80	sylsyld 61	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑦 ≈ 𝑤) → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → 𝜒))
82	81	impancom 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑))) → (𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒))
83	82	alrimiv 1929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑))) → ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒))
84	83	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒)))
85		breq1 5103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≈ 𝑤 ↔ 𝑦 ≈ 𝑤))
86		findcard3.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
87	85, 86	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ (𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒)))
88	87	cbvalvw 2038	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑦 ≈ 𝑤 → 𝜒))
89	84, 88	imbitrrdi 252	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)))
90	89	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ On → (∀𝑧 ∈ 𝑤 (𝑧 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑧 → 𝜑)) → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑))))
91	7, 90	tfis2 7809	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ On → (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)))
92	2, 91	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑))
93	92	rgen 3054	. . . 4 ⊢ ∀𝑤 ∈ ω ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑)
94		r19.29 3101	. . . 4 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ω ∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ ∃𝑤 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤))
95	93, 94	mpan 691	. . 3 ⊢ (∃𝑤 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑤 → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤))
96	1, 95	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤))
97		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≈ 𝑤 ↔ 𝐴 ≈ 𝑤))
98		findcard3.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
99	97, 98	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ↔ (𝐴 ≈ 𝑤 → 𝜏)))
100	99	spcgv 3552	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) → (𝐴 ≈ 𝑤 → 𝜏)))
101	100	impd 410	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤) → 𝜏))
102	101	rexlimdvw 3144	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ ω (∀𝑥(𝑥 ≈ 𝑤 → 𝜑) ∧ 𝐴 ≈ 𝑤) → 𝜏))
103	96, 102	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904   class class class wbr 5100  Ord word 6324  Oncon0 6325  ωcom 7818   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-1o 8407  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  marypha1lem  9348  pgpfac1  20023  pgpfac  20027  fbfinnfr  23797  wilthlem3  27048