Theorem nndomog 9147

Description: Cardinal ordering agrees with ordinal number ordering when the smaller number is a natural number. Compare with nndomo 9152 when both are natural numbers. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.) Generalize from nndomo 9152. (Revised by RP, 5-Nov-2023.) Avoid ax-pow 5307. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nndomog	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem nndomog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnfi 9102	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2		domnsymfi 9134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
3	1, 2	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
4	3	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
5		php2 9142	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
6	5	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝐴))
7	4, 6	nsyld 156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
9		nnord 7825	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
10		eloni 6333	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
11		ordtri1 6356	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
12		ordelpss 6351	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
13	12	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
14	13	notbid 318	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
15	11, 14	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
16	9, 10, 15	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
17	8, 16	sylibrd 259	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
18		ssdomfi2 9131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
19	18	3expia 1122	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
20	1, 19	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
21	17, 20	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889   ⊊ wpss 3890   class class class wbr 5085  Ord word 6322  Oncon0 6323  ωcom 7817   ≼ cdom 8891   ≺ csdm 8892  Fincfn 8893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-om 7818  df-1o 8405  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897

This theorem is referenced by:  onomeneq  9148  nndomo  9152  harsucnn  9922