Theorem nndomog 9215

Description: Cardinal ordering agrees with ordinal number ordering when the smaller number is a natural number. Compare with nndomo 9232 when both are natural numbers. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.) Generalize from nndomo 9232. (Revised by RP, 5-Nov-2023.) Avoid ax-pow 5356. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nndomog	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem nndomog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnfi 9166	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2		domnsymfi 9202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
3	1, 2	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
4	3	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
5		php2 9210	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
6	5	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝐴))
7	4, 6	nsyld 156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
9		nnord 7859	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
10		eloni 6367	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
11		ordtri1 6390	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
12		ordelpss 6385	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
13	12	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
14	13	notbid 318	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
15	11, 14	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
16	9, 10, 15	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
17	8, 16	sylibrd 259	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
18		ssdomfi2 9199	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
19	18	3expia 1118	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
20	1, 19	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
21	17, 20	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943   ⊊ wpss 3944   class class class wbr 5141  Ord word 6356  Oncon0 6357  ωcom 7851   ≼ cdom 8936   ≺ csdm 8937  Fincfn 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7852  df-1o 8464  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942

This theorem is referenced by:  onomeneq  9227  nndomo  9232  harsucnn  9992