MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndomog Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndomog 9251
Description: Cardinal ordering agrees with ordinal number ordering when the smaller number is a natural number. Compare with nndomo 9267 when both are natural numbers. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.) Generalize from nndomo 9267. (Revised by RP, 5-Nov-2023.) Avoid ax-pow 5371. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
nndomog ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem nndomog
StepHypRef Expression
1 nnfi 9206 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2 domnsymfi 9238 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
31, 2sylan 580 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐵𝐴)
43ex 412 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
5 php2 9246 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
65ex 412 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
74, 6nsyld 156 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
87adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
9 nnord 7895 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
10 eloni 6396 . . . 4 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
11 ordtri1 6419 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
12 ordelpss 6414 . . . . . . 7 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
1312ancoms 458 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
1413notbid 318 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
1511, 14bitrd 279 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
169, 10, 15syl2an 596 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
178, 16sylibrd 259 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
18 ssdomfi2 9235 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
19183expia 1120 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
201, 19sylan 580 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
2117, 20impbid 212 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  wss 3963  wpss 3964   class class class wbr 5148  Ord word 6385  Oncon0 6386  ωcom 7887  cdom 8982  csdm 8983  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988
This theorem is referenced by:  onomeneq  9263  nndomo  9267  harsucnn  10036
  Copyright terms: Public domain W3C validator