Theorem nndomog 9197

Description: Cardinal ordering agrees with ordinal number ordering when the smaller number is a natural number. Compare with nndomo 9202 when both are natural numbers. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.) Generalize from nndomo 9202. (Revised by RP, 5-Nov-2023.) Avoid ax-pow 5337. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nndomog	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem nndomog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnfi 9152	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2		domnsymfi 9184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
3	1, 2	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
4	3	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
5		php2 9192	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
6	5	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝐴))
7	4, 6	nsyld 157	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
9		nnord 7870	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
10		eloni 6371	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
11		ordtri1 6395	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
12		ordelpss 6389	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
13	12	ancoms 463	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
14	13	notbid 321	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
15	11, 14	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
16	9, 10, 15	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
17	8, 16	sylibrd 262	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
18		ssdomfi2 9181	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
19	18	3expia 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
20	1, 19	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
21	17, 20	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3911   ⊊ wpss 3912   class class class wbr 5111  Ord word 6360  Oncon0 6361  ωcom 7862   ≼ cdom 8941   ≺ csdm 8942  Fincfn 8943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7863  df-1o 8453  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947

This theorem is referenced by:  onomeneq  9198  nndomo  9202  harsucnn  9984