Theorem nndomog 9183

Description: Cardinal ordering agrees with ordinal number ordering when the smaller number is a natural number. Compare with nndomo 9187 when both are natural numbers. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.) Generalize from nndomo 9187. (Revised by RP, 5-Nov-2023.) Avoid ax-pow 5323. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nndomog	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem nndomog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnfi 9137	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2		domnsymfi 9170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
3	1, 2	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
4	3	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
5		php2 9178	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
6	5	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 ≺ 𝐴))
7	4, 6	nsyld 156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
9		nnord 7853	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
10		eloni 6345	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
11		ordtri1 6368	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
12		ordelpss 6363	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
13	12	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ⊊ 𝐴))
14	13	notbid 318	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
15	11, 14	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
16	9, 10, 15	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
17	8, 16	sylibrd 259	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
18		ssdomfi2 9167	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
19	18	3expia 1121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
20	1, 19	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
21	17, 20	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   ⊊ wpss 3918   class class class wbr 5110  Ord word 6334  Oncon0 6335  ωcom 7845   ≼ cdom 8919   ≺ csdm 8920  Fincfn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-om 7846  df-1o 8437  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925

This theorem is referenced by:  onomeneq  9184  nndomo  9187  harsucnn  9958