Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndomog Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndomog 8692
 Description: Cardinal ordering agrees with ordinal number ordering when the smaller number is a natural number. Compare with nndomo 8697 when both are natural numbers. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.) Generalize from nndomo 8697. (Revised by RP, 5-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
nndomog ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem nndomog
StepHypRef Expression
1 php2 8686 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
21ex 416 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
3 domnsym 8627 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
42, 3nsyli 160 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
54adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
6 nnord 7568 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7 eloni 6169 . . . 4 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
8 ordtri1 6192 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
9 ordelpss 6187 . . . . . . 7 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
109ancoms 462 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
1110notbid 321 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
128, 11bitrd 282 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
136, 7, 12syl2an 598 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
145, 13sylibrd 262 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
15 ssdomg 8538 . . 3 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1615adantl 485 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1714, 16impbid 215 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   ⊊ wpss 3882   class class class wbr 5030  Ord word 6158  Oncon0 6159  ωcom 7560   ≼ cdom 8490   ≺ csdm 8491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495 This theorem is referenced by:  nndomo  8697  harsucnn  9411
 Copyright terms: Public domain W3C validator