Theorem oaun3lem2 44219

Description: The class of all ordinal sums of elements from two ordinals is bounded by the sum. Lemma for oaun3 44226. (Contributed by RP, 13-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oaun3lem2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → {𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ⊆ (𝐴 +o 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏,𝑥

Proof of Theorem oaun3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏))
2		onelon 6382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ On)
3	2	ad2ant2r 760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ On)
4		onelon 6382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ On)
5	4	ad2ant2l 759	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ On)
6		oacl 8525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑎 +o 𝑏) ∈ On)
7	3, 5, 6	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 +o 𝑏) ∈ On)
8		oacl 8525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ On)
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ On)
10	7, 9	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 +o 𝑏) ∈ On ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ On))
11		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ On)
13	3, 12, 5	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On))
14		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐴)
15	14	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐴)
16		eloni 6367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ On → Ord 𝑎)
17		eloni 6367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
18	16, 17	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (Ord 𝑎 ∧ Ord 𝐴))
19	3, 12, 18	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (Ord 𝑎 ∧ Ord 𝐴))
20		ordelpss 6385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord 𝑎 ∧ Ord 𝐴) → (𝑎 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ⊊ 𝐴))
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ⊊ 𝐴))
22	15, 21	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ⊊ 𝐴)
23	22	pssssd 4048	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
24		oawordri 8540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ On) → (𝑎 ⊆ 𝐴 → (𝑎 +o 𝑏) ⊆ (𝐴 +o 𝑏)))
25	13, 23, 24	sylc 66	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 +o 𝑏) ⊆ (𝐴 +o 𝑏))
26		pm3.22 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
27	26	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
28		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
29	28	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
30		oaordi 8536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐴 +o 𝑏) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
31	27, 29, 30	sylc 66	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐴 +o 𝑏) ∈ (𝐴 +o 𝐵))
32	25, 31	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 +o 𝑏) ⊆ (𝐴 +o 𝑏) ∧ (𝐴 +o 𝑏) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
33		ontr2 6406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 +o 𝑏) ∈ On ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ On) → (((𝑎 +o 𝑏) ⊆ (𝐴 +o 𝑏) ∧ (𝐴 +o 𝑏) ∈ (𝐴 +o 𝐵)) → (𝑎 +o 𝑏) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
34	10, 32, 33	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 +o 𝑏) ∈ (𝐴 +o 𝐵))
35	34	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)) → (𝑎 +o 𝑏) ∈ (𝐴 +o 𝐵))
36	1, 35	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)) → 𝑥 ∈ (𝐴 +o 𝐵))
37	36	exp31 425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑎 +o 𝑏) → 𝑥 ∈ (𝐴 +o 𝐵))))
38	37	rexlimdvv 3218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏) → 𝑥 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
39	38	abssdv 4015	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → {𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ⊆ (𝐴 +o 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  Ord word 6356  Oncon0 6357  (class class class)co 7414   +_o coa 8455

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-oadd 8462

This theorem is used by:  oaun3lem3  44220  oaun3lem4  44221  oaun3  44226