Theorem ovconstbrn0d 49972

Description: Two ways of expressing 𝐴𝑅𝐵. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovconstbrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑅 × {𝑌}))
ovconstbrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
ovconstbrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
ovconstbrn0d	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅))

Proof of Theorem ovconstbrn0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5104	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
2		ovconstbrd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑅 × {𝑌}))
3	2	oveqd 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = (𝐴(𝑅 × {𝑌})𝐵))
4		df-ov 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(𝑅 × {𝑌})𝐵) = ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5	3, 4	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → (𝐴𝐹𝐵) = ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
7		ovconstbrd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		fvconst2g 7208	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝑌)
9	7, 8	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝑌)
10	6, 9	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑌)
11		ovconstbrd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → 𝑌 ≠ ∅)
13	10, 12	eqnetrd 3023	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
14	5	neeq1d 3015	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅ ↔ ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅))
15	14	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅)
16		dmxpss 6163	. . . . 5 ⊢ dom (𝑅 × {𝑌}) ⊆ 𝑅
17		ndmfv 6917	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom (𝑅 × {𝑌}) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)
18	17	necon1ai 2983	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom (𝑅 × {𝑌}))
19	16, 18	sselid 3929	. . . 4 ⊢ (((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
20	15, 19	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
21	13, 20	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅))
22	1, 21	bitrid 286	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   × cxp 5649  dom cdm 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423

This theorem is used by:  prstchom  50669  prstchom2ALT  50671