Theorem dmxpss 6137

Description: The domain of a Cartesian product is included in its first factor. (Contributed by NM, 19-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpss	⊢ dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem dmxpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq2 5653	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
2		xp0 5732	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
4	3	dmeqd 5862	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = dom ∅)
5		dm0 5877	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = ∅)
7		0ss 4354	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
8	6, 7	eqsstrdi 3980	. 2 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
9		dmxp 5886	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
10		eqimss 3994	. . 3 ⊢ (dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴 → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
12	8, 11	pm2.61ine 3016	1 ⊢ dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287   × cxp 5630  dom cdm 5632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-dm 5642

This theorem is referenced by:  rnxpss  6138  ssxpb  6140  resssxp  6236  funssxp  6698  dff3  7054  fparlem3  8066  fparlem4  8067  frxp2  8096  frxp3  8103  brdom3  10450  brdom5  10451  brdom4  10452  canthwelem  10573  pwfseqlem4  10585  uzrdgfni  13893  xptrrel  14915  rlimpm  15435  isohom  17712  ledm  18525  gsumxp  19917  dprd2d2  19987  tsmsxp  24111  dvbssntr  25869  noseqrdgfn  28314  gsumpart  33156  esum2d  34270  poimirlem3  37868  rtrclex  43967  trclexi  43970  rtrclexi  43971  cnvtrcl0  43976  dmtrcl  43977  rfovcnvf1od  44354  issmflem  47079  fvconstr  49215  fvconstrn0  49216  fvconstr2  49217  fvconst0ci  49244  fvconstdomi  49245