Theorem dmxpss 6135

Description: The domain of a Cartesian product is included in its first factor. (Contributed by NM, 19-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpss	⊢ dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem dmxpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq2 5652	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
2		xp0 5731	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
4	3	dmeqd 5860	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = dom ∅)
5		dm0 5875	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = ∅)
7		0ss 4340	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
8	6, 7	eqsstrdi 3966	. 2 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
9		dmxp 5884	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
10		eqimss 3980	. . 3 ⊢ (dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴 → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
12	8, 11	pm2.61ine 3015	1 ⊢ dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273   × cxp 5629  dom cdm 5631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-dm 5641

This theorem is referenced by:  rnxpss  6136  ssxpb  6138  resssxp  6234  funssxp  6696  dff3  7052  fparlem3  8064  fparlem4  8065  frxp2  8094  frxp3  8101  brdom3  10450  brdom5  10451  brdom4  10452  canthwelem  10573  pwfseqlem4  10585  uzrdgfni  13920  xptrrel  14942  rlimpm  15462  isohom  17743  ledm  18556  gsumxp  19951  dprd2d2  20021  tsmsxp  24120  dvbssntr  25867  noseqrdgfn  28298  gsumpart  33124  esum2d  34237  poimirlem3  37944  rtrclex  44044  trclexi  44047  rtrclexi  44048  cnvtrcl0  44053  dmtrcl  44054  rfovcnvf1od  44431  issmflem  47155  fvconstr  49337  fvconstrn0  49338  fvconstr2  49339  fvconst0ci  49366  fvconstdomi  49367