Theorem dmxpss 6129

Description: The domain of a Cartesian product is included in its first factor. (Contributed by NM, 19-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpss	⊢ dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem dmxpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq2 5646	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
2		xp0 5725	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
4	3	dmeqd 5854	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = dom ∅)
5		dm0 5869	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2791	. . 3 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = ∅)
7		0ss 4335	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
8	6, 7	eqsstrdi 3966	. 2 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
9		dmxp 5878	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
10		eqimss 3980	. . 3 ⊢ (dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴 → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
12	8, 11	pm2.61ine 3018	1 ⊢ dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1547   ≠ wne 2935   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268   × cxp 5623  dom cdm 5625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-xp 5631  df-dm 5635

This theorem is referenced by:  rnxpss  6130  ssxpb  6132  resssxp  6228  funssxp  6690  dff3  7048  fparlem3  8060  fparlem4  8061  frxp2  8091  frxp3  8098  brdom3  10448  brdom5  10449  brdom4  10450  canthwelem  10571  pwfseqlem4  10583  uzrdgfni  13918  xptrrel  14940  rlimpm  15460  isohom  17741  ledm  18554  gsumxp  19949  dprd2d2  20019  tsmsxp  24145  dvbssntr  25892  noseqrdgfn  28323  gsumpart  33151  esum2d  34284  poimirlem3  37997  rtrclex  44068  trclexi  44071  rtrclexi  44072  cnvtrcl0  44077  dmtrcl  44078  rfovcnvf1od  44455  issmflem  47177  fvconstr  49359  fvconstrn0  49360  fvconstr2  49361  fvconst0ci  49388  fvconstdomi  49389