Theorem dmxpss 6168

Description: The domain of a Cartesian product is included in its first factor. (Contributed by NM, 19-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpss	⊢ dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem dmxpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq2 5680	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
2		xp0 5759	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2813	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
4	3	dmeqd 5893	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = dom ∅)
5		dm0 5908	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = ∅)
7		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
8	6, 7	eqsstrdi 3978	. 2 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
9		dmxp 5917	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
10		eqimss 3992	. . 3 ⊢ (dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴 → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
12	8, 11	pm2.61ine 3040	1 ⊢ dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   × cxp 5657  dom cdm 5659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-dm 5669

This theorem is used by:  rnxpss  6169  ssxpb  6171  resssxp  6271  funssxp  6735  dff3  7096  fparlem3  8114  fparlem4  8115  frxp2  8145  frxp3  8152  brdom3  10534  brdom5  10535  brdom4  10536  canthwelem  10662  pwfseqlem4  10674  uzrdgfni  14024  xptrrel  15055  rlimpm  15589  isohom  17869  ledm  18682  gsumxp  20104  dprd2d2  20174  tsmsxp  24382  dvbssntr  26129  noseqrdgfn  28569  gsumpart  33490  esum2d  34590  poimirlem3  38359  rtrclex  44444  trclexi  44447  rtrclexi  44448  cnvtrcl0  44453  dmtrcl  44454  rfovcnvf1od  44831  issmflem  47542  fvconstr  49777  fvconstrn0  49778  fvconstr2  49779  fvconst0ci  49804  fvconstdomi  49805