Theorem dmxpss 6176

Description: The domain of a Cartesian product is included in its first factor. (Contributed by NM, 19-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpss	⊢ dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem dmxpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq2 5677	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
2		xp0 5757	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
4	3	dmeqd 5895	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = dom ∅)
5		dm0 5910	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = ∅)
7		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
8	6, 7	eqsstrdi 3957	. 2 ⊢ (𝐵 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
9		dmxp 5919	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
10		eqimss 3971	. . 3 ⊢ (dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴 → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴)
12	8, 11	pm2.61ine 3042	1 ⊢ dom (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   × cxp 5654  dom cdm 5656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-dm 5666

This theorem is used by:  rnxpss  6177  ssxpb  6179  resssxp  6291  funssxp  6763  dff3  7127  fparlem3  8155  fparlem4  8156  frxp2  8191  frxp3  8198  brdom3  10637  brdom5  10638  brdom4  10639  canthwelem  10765  pwfseqlem4  10777  uzrdgfni  14131  xptrrel  15165  rlimpm  15699  isohom  17983  ledm  18796  gsumxp  20223  dprd2d2  20293  tsmsxp  24507  dvbssntr  26253  noseqrdgfn  28725  gsumpart  33700  esum2d  34808  poimirlem3  38746  rtrclex  44820  trclexi  44823  rtrclexi  44824  cnvtrcl0  44829  dmtrcl  44830  rfovcnvf1od  45207  issmflem  47952  ovconstbrd  50188  ovconstbrn0d  50189  elovconstbrd  50190  fvconst0ci  50220  fvconstdomi  50221