Theorem prstchom2ALT 49923

Description: Hom-sets of the constructed category are dependent on the preorder. This proof depends on the definition df-prstc 49909. See prstchom2 49922 for a version that does not depend on the definition. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstchom.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
prstchom.e	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
prstchom2ALT	⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑓)   ≤ (𝑓)

Proof of Theorem prstchom2ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7401	. . . 4 ⊢ (𝑋𝐻𝑌) ∈ V
2		prstchom.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))
3		prstcnid.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
4		prstcnid.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
5		prstchom.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
6	3, 4, 5	prstchomval 49918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ≤ × {1o}) = (Hom ‘𝐶))
7	2, 6	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( ≤ × {1o}))
8		1oex 8417	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
10		1n0 8425	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1o ≠ ∅)
12	7, 9, 11	fvconstr 49221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋𝐻𝑌) = 1o))
13	12	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋𝐻𝑌) = 1o)
14		eqeng 8935	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐻𝑌) ∈ V → ((𝑋𝐻𝑌) = 1o → (𝑋𝐻𝑌) ≈ 1o))
15	1, 13, 14	mpsyl 68	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋𝐻𝑌) ≈ 1o)
16		euen1b 8977	. . 3 ⊢ ((𝑋𝐻𝑌) ≈ 1o ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
17	15, 16	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
18		euex 2578	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
19		n0 4307	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
20	18, 19	sylibr 234	. . 3 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → (𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅)
21	7, 9, 11	fvconstrn0 49222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅))
22	21	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅) → 𝑋 ≤ 𝑌)
23	20, 22	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑌)
24	17, 23	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃!weu 2569   ≠ wne 2933  Vcvv 3442  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100   × cxp 5630  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1_oc1o 8400   ≈ cen 8892  lecple 17196  Hom chom 17200   Proset cproset 18227  ProsetToCatcprstc 49908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ple 17209  df-hom 17213  df-cco 17214  df-prstc 49909

This theorem is referenced by: (None)