Theorem prstchom2ALT 49569

Description: Hom-sets of the constructed category are dependent on the preorder. This proof depends on the definition df-prstc 49555. See prstchom2 49568 for a version that does not depend on the definition. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstchom.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
prstchom.e	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
prstchom2ALT	⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑓)   ≤ (𝑓)

Proof of Theorem prstchom2ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7386	. . . 4 ⊢ (𝑋𝐻𝑌) ∈ V
2		prstchom.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))
3		prstcnid.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
4		prstcnid.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
5		prstchom.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
6	3, 4, 5	prstchomval 49564	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ≤ × {1o}) = (Hom ‘𝐶))
7	2, 6	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( ≤ × {1o}))
8		1oex 8405	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
10		1n0 8413	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1o ≠ ∅)
12	7, 9, 11	fvconstr 48866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋𝐻𝑌) = 1o))
13	12	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋𝐻𝑌) = 1o)
14		eqeng 8918	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐻𝑌) ∈ V → ((𝑋𝐻𝑌) = 1o → (𝑋𝐻𝑌) ≈ 1o))
15	1, 13, 14	mpsyl 68	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋𝐻𝑌) ≈ 1o)
16		euen1b 8960	. . 3 ⊢ ((𝑋𝐻𝑌) ≈ 1o ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
17	15, 16	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
18		euex 2570	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
19		n0 4306	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
20	18, 19	sylibr 234	. . 3 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → (𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅)
21	7, 9, 11	fvconstrn0 48867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅))
22	21	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅) → 𝑋 ≤ 𝑌)
23	20, 22	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑌)
24	17, 23	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃!weu 2561   ≠ wne 2925  Vcvv 3438  ∅c0 4286  {csn 4579   class class class wbr 5095   × cxp 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1_oc1o 8388   ≈ cen 8876  lecple 17187  Hom chom 17191   Proset cproset 18217  ProsetToCatcprstc 49554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ple 17200  df-hom 17204  df-cco 17205  df-prstc 49555

This theorem is referenced by: (None)