Theorem prstchom2ALT 46360

Description: Hom-sets of the constructed category are dependent on the preorder. This proof depends on the definition df-prstc 46344. See prstchom2 46359 for a version that does not depend on the definition. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstchom.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
prstchom.e	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
prstchom2ALT	⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑓)   ≤ (𝑓)

Proof of Theorem prstchom2ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7308	. . . 4 ⊢ (𝑋𝐻𝑌) ∈ V
2		prstchom.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))
3		prstcnid.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
4		prstcnid.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
5		prstchom.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
6	3, 4, 5	prstchomval 46355	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( ≤ × {1o}) = (Hom ‘𝐶))
7	2, 6	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( ≤ × {1o}))
8		1oex 8307	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
10		1n0 8318	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1o ≠ ∅)
12	7, 9, 11	fvconstr 46183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋𝐻𝑌) = 1o))
13	12	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋𝐻𝑌) = 1o)
14		eqeng 8774	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐻𝑌) ∈ V → ((𝑋𝐻𝑌) = 1o → (𝑋𝐻𝑌) ≈ 1o))
15	1, 13, 14	mpsyl 68	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋𝐻𝑌) ≈ 1o)
16		euen1b 8817	. . 3 ⊢ ((𝑋𝐻𝑌) ≈ 1o ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
17	15, 16	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
18		euex 2577	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
19		n0 4280	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
20	18, 19	sylibr 233	. . 3 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → (𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅)
21	7, 9, 11	fvconstrn0 46184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅))
22	21	biimpar 478	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅) → 𝑋 ≤ 𝑌)
23	20, 22	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑌)
24	17, 23	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  ∃!weu 2568   ≠ wne 2943  Vcvv 3432  ∅c0 4256  {csn 4561   class class class wbr 5074   × cxp 5587  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1_oc1o 8290   ≈ cen 8730  lecple 16969  Hom chom 16973   Proset cproset 18011  ProsetToCatcprstc 46343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ple 16982  df-hom 16986  df-cco 16987  df-prstc 46344

This theorem is referenced by: (None)