Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prstchom2ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prstchom2ALT 47998
Description: Hom-sets of the constructed category are dependent on the preorder. This proof depends on the definition df-prstc 47982. See prstchom2 47997 for a version that does not depend on the definition. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
prstcnid.c (πœ‘ β†’ 𝐢 = (ProsetToCatβ€˜πΎ))
prstcnid.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Proset )
prstchom.l (πœ‘ β†’ ≀ = (leβ€˜πΆ))
prstchom.e (πœ‘ β†’ 𝐻 = (Hom β€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
prstchom2ALT (πœ‘ β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝑋   𝑓,π‘Œ   πœ‘,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑓)   ≀ (𝑓)

Proof of Theorem prstchom2ALT
StepHypRef Expression
1 ovex 7447 . . . 4 (π‘‹π»π‘Œ) ∈ V
2 prstchom.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (Hom β€˜πΆ))
3 prstcnid.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (ProsetToCatβ€˜πΎ))
4 prstcnid.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Proset )
5 prstchom.l . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ≀ = (leβ€˜πΆ))
63, 4, 5prstchomval 47993 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ( ≀ Γ— {1o}) = (Hom β€˜πΆ))
72, 6eqtr4d 2770 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( ≀ Γ— {1o}))
8 1oex 8488 . . . . . . 7 1o ∈ V
98a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1o ∈ V)
10 1n0 8500 . . . . . . 7 1o β‰  βˆ…
1110a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1o β‰  βˆ…)
127, 9, 11fvconstr 47821 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (π‘‹π»π‘Œ) = 1o))
1312biimpa 476 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (π‘‹π»π‘Œ) = 1o)
14 eqeng 8996 . . . 4 ((π‘‹π»π‘Œ) ∈ V β†’ ((π‘‹π»π‘Œ) = 1o β†’ (π‘‹π»π‘Œ) β‰ˆ 1o))
151, 13, 14mpsyl 68 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (π‘‹π»π‘Œ) β‰ˆ 1o)
16 euen1b 9041 . . 3 ((π‘‹π»π‘Œ) β‰ˆ 1o ↔ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ))
1715, 16sylib 217 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ))
18 euex 2566 . . . 4 (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ))
19 n0 4342 . . . 4 ((π‘‹π»π‘Œ) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ))
2018, 19sylibr 233 . . 3 (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ (π‘‹π»π‘Œ) β‰  βˆ…)
217, 9, 11fvconstrn0 47822 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (π‘‹π»π‘Œ) β‰  βˆ…))
2221biimpar 477 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘‹π»π‘Œ) β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
2320, 22sylan2 592 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
2417, 23impbida 800 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (π‘‹π»π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099  βˆƒ!weu 2557   β‰  wne 2935  Vcvv 3469  βˆ…c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  1oc1o 8471   β‰ˆ cen 8950  lecple 17225  Hom chom 17229   Proset cproset 18270  ProsetToCatcprstc 47981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ple 17238  df-hom 17242  df-cco 17243  df-prstc 47982
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator