Theorem prstchom 49143

Description: Hom-sets of the constructed category are dependent on the preorder.

Note that prstchom.x and prstchom.y are redundant here due to our definition of ProsetToCat. However, this should not be assumed as it is definition-dependent. Therefore, the two hypotheses are added for explicitness. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstchom.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
prstchom.e	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))
prstchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
prstchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
prstchom	⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅))

Proof of Theorem prstchom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstchom.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))
2		prstcnid.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		prstcnid.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
4		prstchom.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
5	2, 3, 4	prstchomval 49140	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ≤ × {1o}) = (Hom ‘𝐶))
6	1, 5	eqtr4d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( ≤ × {1o}))
7		1oex 8497	. . 3 ⊢ 1o ∈ V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
9		1n0 8507	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1o ≠ ∅)
11	6, 8, 10	fvconstrn0 48700	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  Vcvv 3463  ∅c0 4313  {csn 4606   class class class wbr 5123   × cxp 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  1_oc1o 8480  Basecbs 17228  lecple 17279  Hom chom 17283   Proset cproset 18307  ProsetToCatcprstc 49128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-4 12312  df-5 12313  df-6 12314  df-7 12315  df-8 12316  df-9 12317  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-ple 17292  df-hom 17296  df-cco 17297  df-prstc 49129

This theorem is referenced by:  prstchom2  49144  oduoppcciso  49147  postc  49150