Theorem prstchom 50060

Description: Hom-sets of the constructed category are dependent on the preorder.

Note that prstchom.x and prstchom.y are redundant here due to our definition of ProsetToCat. However, this should not be assumed as it is definition-dependent. Therefore, the two hypotheses are added for explicitness. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prstcnid.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
prstcnid.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
prstchom.l	⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
prstchom.e	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))
prstchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
prstchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
prstchom	⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅))

Proof of Theorem prstchom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prstchom.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))
2		prstcnid.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (ProsetToCat‘𝐾))
3		prstcnid.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Proset )
4		prstchom.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ≤ = (le‘𝐶))
5	2, 3, 4	prstchomval 50057	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ≤ × {1o}) = (Hom ‘𝐶))
6	1, 5	eqtr4d 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( ≤ × {1o}))
7		1oex 8406	. . 3 ⊢ 1o ∈ V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
9		1n0 8414	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1o ≠ ∅)
11	6, 8, 10	fvconstrn0 49361	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431  ∅c0 4262  {csn 4556   class class class wbr 5073   × cxp 5617  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  1_oc1o 8389  Basecbs 17171  lecple 17219  Hom chom 17223   Proset cproset 18250  ProsetToCatcprstc 50047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ple 17232  df-hom 17236  df-cco 17237  df-prstc 50048

This theorem is referenced by:  prstchom2  50061  oduoppcciso  50064  postc  50067