Theorem ndmfv 6695

Description: The value of a class outside its domain is the empty set. (An artifact of our function value definition.) (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ndmfv	⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem ndmfv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2658	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥 → ∃𝑥 𝐴𝐹𝑥)
2		eldmg 5762	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑥 𝐴𝐹𝑥))
3	1, 2	syl5ibr 248	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥 → 𝐴 ∈ dom 𝐹))
4	3	con3d 155	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹 → ¬ ∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥))
5		tz6.12-2 6655	. . 3 ⊢ (¬ ∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥 → (𝐹‘𝐴) = ∅)
6	4, 5	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐴) = ∅))
7		fvprc 6658	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) = ∅)
8	7	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐴) = ∅))
9	6, 8	pm2.61i 184	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110  ∃!weu 2649  Vcvv 3495  ∅c0 4291   class class class wbr 5059  dom cdm 5550  ‘cfv 6350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-nul 5203  ax-pow 5259

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-dm 5560  df-iota 6309  df-fv 6358

This theorem is referenced by:  ndmfvrcl  6696  elfvdm  6697  nfvres  6701  fvfundmfvn0  6703  0fv  6704  funfv  6745  fvun1  6749  fvco4i  6757  fvmpti  6762  mptrcl  6772  fvmptss  6775  fvmptex  6777  fvmptnf  6785  fvmptss2  6788  elfvmptrab1  6790  fvopab4ndm  6792  f0cli  6859  funiunfv  7001  ovprc  7188  oprssdm  7323  nssdmovg  7324  ndmovg  7325  1st2val  7711  2nd2val  7712  brovpreldm  7778  smofvon2  7987  rdgsucmptnf  8059  frsucmptn  8068  brwitnlem  8126  undifixp  8492  r1tr  9199  rankvaln  9222  cardidm  9382  carden2a  9389  carden2b  9390  carddomi2  9393  sdomsdomcardi  9394  pm54.43lem  9422  alephcard  9490  alephnbtwn  9491  alephgeom  9502  cfub  9665  cardcf  9668  cflecard  9669  cfle  9670  cflim2  9679  cfidm  9691  itunisuc  9835  itunitc1  9836  ituniiun  9838  alephadd  9993  alephreg  9998  pwcfsdom  9999  cfpwsdom  10000  adderpq  10372  mulerpq  10373  uzssz  12258  ltweuz  13323  wrdsymb0  13895  lsw0  13911  swrd00  14000  swrd0  14014  pfx00  14030  pfx0  14031  sumz  15073  sumss  15075  sumnul  15109  prod1  15292  prodss  15295  divsfval  16814  cidpropd  16974  lubval  17588  glbval  17601  joinval  17609  meetval  17623  gsumpropd2lem  17883  mulgfval  18220  mpfrcl  20292  iscnp2  21841  setsmstopn  23082  tngtopn  23253  dvbsss  24494  perfdvf  24495  dchrrcl  25810  structiedg0val  26801  snstriedgval  26817  rgrx0nd  27370  vsfval  28404  dmadjrnb  29677  hmdmadj  29711  funeldmb  33001  rdgprc0  33033  soseq  33091  nofv  33159  sltres  33164  noseponlem  33166  noextenddif  33170  noextendlt  33171  noextendgt  33172  nolesgn2ores  33174  fvnobday  33178  nosepdmlem  33182  nosepssdm  33185  nosupbnd1lem3  33205  nosupbnd1lem5  33207  nosupbnd2lem1  33210  fullfunfv  33403  linedegen  33599  bj-inftyexpitaudisj  34481  bj-inftyexpidisj  34486  bj-fvimacnv0  34562  dibvalrel  38293  dicvalrelN  38315  dihvalrel  38409  itgocn  39757  r1rankcld  40560  grur1cld  40561  uz0  41678  climfveq  41942  climfveqf  41953  afv2ndeffv0  43452  fvmptrabdm  43485  setrec2lem1  44789