Theorem ndmfv 6675

Description: The value of a class outside its domain is the empty set. (An artifact of our function value definition.) (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ndmfv	⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem ndmfv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2637	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥 → ∃𝑥 𝐴𝐹𝑥)
2		eldmg 5731	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑥 𝐴𝐹𝑥))
3	1, 2	syl5ibr 249	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥 → 𝐴 ∈ dom 𝐹))
4	3	con3d 155	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹 → ¬ ∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥))
5		tz6.12-2 6635	. . 3 ⊢ (¬ ∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥 → (𝐹‘𝐴) = ∅)
6	4, 5	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐴) = ∅))
7		fvprc 6638	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐹‘𝐴) = ∅)
8	7	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐴) = ∅))
9	6, 8	pm2.61i 185	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∃!weu 2628  Vcvv 3441  ∅c0 4243   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  ‘cfv 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-nul 5174  ax-pow 5231

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  ndmfvrcl  6676  elfvdm  6677  nfvres  6681  fvfundmfvn0  6683  0fv  6684  funfv  6725  fvun1  6729  fvco4i  6739  fvmpti  6744  mptrcl  6754  fvmptss  6757  fvmptex  6759  fvmptnf  6767  fvmptss2  6770  elfvmptrab1  6772  fvopab4ndm  6774  f0cli  6841  funiunfv  6985  ovprc  7173  oprssdm  7309  nssdmovg  7310  ndmovg  7311  1st2val  7699  2nd2val  7700  brovpreldm  7767  smofvon2  7976  rdgsucmptnf  8048  frsucmptn  8057  brwitnlem  8115  undifixp  8481  r1tr  9189  rankvaln  9212  cardidm  9372  carden2a  9379  carden2b  9380  carddomi2  9383  sdomsdomcardi  9384  pm54.43lem  9413  alephcard  9481  alephnbtwn  9482  alephgeom  9493  cfub  9660  cardcf  9663  cflecard  9664  cfle  9665  cflim2  9674  cfidm  9686  itunisuc  9830  itunitc1  9831  ituniiun  9833  alephadd  9988  alephreg  9993  pwcfsdom  9994  cfpwsdom  9995  adderpq  10367  mulerpq  10368  uzssz  12252  ltweuz  13324  wrdsymb0  13892  lsw0  13908  swrd00  13997  swrd0  14011  pfx00  14027  pfx0  14028  sumz  15071  sumss  15073  sumnul  15107  prod1  15290  prodss  15293  divsfval  16812  cidpropd  16972  lubval  17586  glbval  17599  joinval  17607  meetval  17621  gsumpropd2lem  17881  mulgfval  18218  mpfrcl  20757  iscnp2  21844  setsmstopn  23085  tngtopn  23256  dvbsss  24505  perfdvf  24506  dchrrcl  25824  structiedg0val  26815  snstriedgval  26831  rgrx0nd  27384  vsfval  28416  dmadjrnb  29689  hmdmadj  29723  funeldmb  33119  rdgprc0  33151  soseq  33209  nofv  33277  sltres  33282  noseponlem  33284  noextenddif  33288  noextendlt  33289  noextendgt  33290  nolesgn2ores  33292  fvnobday  33296  nosepdmlem  33300  nosepssdm  33303  nosupbnd1lem3  33323  nosupbnd1lem5  33325  nosupbnd2lem1  33328  fullfunfv  33521  linedegen  33717  bj-inftyexpitaudisj  34620  bj-inftyexpidisj  34625  bj-fvimacnv0  34701  dibvalrel  38459  dicvalrelN  38481  dihvalrel  38575  itgocn  40108  r1rankcld  40939  grur1cld  40940  uz0  42049  climfveq  42311  climfveqf  42322  afv2ndeffv0  43816  fvmptrabdm  43849