Theorem fvconst2g 7205

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 6766	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 7164	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 592	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4587   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545

This theorem is used by:  fconst2g  7206  fvconst2  7207  ofc1  7710  ofc2  7711  caofid0l  7715  caofid0r  7716  caofid1  7717  caofid2  7718  fnsuppres  8193  ser0  14122  ser1const  14126  exp1  14135  expp1  14136  climconst2  15639  climaddc1  15726  climmulc2  15728  climsubc1  15729  climsubc2  15730  climlec2  15750  fsumconst  15880  supcvg  15949  prodf1  15984  prod0  16036  fprodconst  16071  seq1st  16667  algr0  16668  algrf  16669  ramz  17123  pwsbas  17578  pwsplusgval  17582  pwsmulrval  17583  pwsle  17584  pwsvscafval  17586  pwspjmhm  18945  pwsco1mhm  18947  pwsinvg  19182  mulgnngsum  19208  mulg1  19210  mulgnnp1  19211  mulgnnsubcl  19215  mulgnn0z  19230  mulgnndir  19232  mulgnn0di  19958  gsumconst  20067  pwslmod  21160  frlmvscaval  21987  psrlidm  22182  psrascl  22199  evlsscaval  22348  coe1tm  22505  coe1fzgsumd  22535  evl1scad  22566  evls1scafv  22597  decpmatid  23001  pmatcollpwscmatlem1  23020  lmconst  23492  cnconst2  23514  xkoptsub  23886  xkopt  23887  xkopjcn  23888  tmdgsum  24327  tmdgsum2  24328  symgtgp  24338  cstucnd  24515  pcoptcl  25255  pcopt  25256  pcopt2  25257  dvidlem  26149  dvconst  26151  dvnff  26157  dvn0  26158  dvcmul  26178  dvcmulf  26179  fta1blem  26403  plyeq0lem  26443  coemulc  26488  dgreq0  26498  dgrmulc  26504  qaa  26563  dchrisumlema  27732  exps1  28701  expsp1  28702  constcof  33102  suppovss  33161  fdifsuppconst  33169  evlscaval  34058  ofcc  34624  ofcof  34625  sseqf  34911  sseqp1  34914  lpadleft  35202  cvmlift3lem9  35914  ismrer1  38596  frlmvscadiccat  43402  fsuppssind  43447  ofoafo  44205  ofoaid1  44207  ofoaid2  44208  naddcnffo  44213  naddcnfid1  44216  dvsinax  46749  stoweidlem21  46857  stoweidlem47  46883  elaa2  47070  sqrtnnaa  47739  sqrtnzqaa  47740  zlmodzxzscm  49295  2sphere0  49688  fvconstr  49798  fvconstrn0  49799