Theorem fvconst2g 7148

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 6721	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 7108	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4580   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  fconst2g  7149  fvconst2  7150  ofc1  7650  ofc2  7651  caofid0l  7655  caofid0r  7656  caofid1  7657  caofid2  7658  fnsuppres  8133  ser0  13977  ser1const  13981  exp1  13990  expp1  13991  climconst2  15471  climaddc1  15558  climmulc2  15560  climsubc1  15561  climsubc2  15562  climlec2  15582  fsumconst  15713  supcvg  15779  prodf1  15814  prod0  15866  fprodconst  15901  seq1st  16498  algr0  16499  algrf  16500  ramz  16953  pwsbas  17407  pwsplusgval  17411  pwsmulrval  17412  pwsle  17413  pwsvscafval  17415  pwspjmhm  18755  pwsco1mhm  18757  pwsinvg  18983  mulgnngsum  19009  mulg1  19011  mulgnnp1  19012  mulgnnsubcl  19016  mulgnn0z  19031  mulgnndir  19033  mulgnn0di  19754  gsumconst  19863  pwslmod  20921  frlmvscaval  21723  psrlidm  21917  psrascl  21934  coe1tm  22215  coe1fzgsumd  22248  evl1scad  22279  evls1scafv  22310  decpmatid  22714  pmatcollpwscmatlem1  22733  lmconst  23205  cnconst2  23227  xkoptsub  23598  xkopt  23599  xkopjcn  23600  tmdgsum  24039  tmdgsum2  24040  symgtgp  24050  cstucnd  24227  pcoptcl  24977  pcopt  24978  pcopt2  24979  dvidlem  25872  dvconst  25874  dvnff  25881  dvn0  25882  dvcmul  25903  dvcmulf  25904  fta1blem  26132  plyeq0lem  26171  coemulc  26216  dgreq0  26227  dgrmulc  26233  qaa  26287  dchrisumlema  27455  exps1  28424  expsp1  28425  constcof  32699  suppovss  32760  fdifsuppconst  32768  evlscaval  33705  ofcc  34263  ofcof  34264  sseqf  34549  sseqp1  34552  lpadleft  34840  cvmlift3lem9  35521  ismrer1  38035  frlmvscadiccat  42757  evlsscaval  42806  fsuppssind  42832  ofoafo  43594  ofoaid1  43596  ofoaid2  43597  naddcnffo  43602  naddcnfid1  43605  dvsinax  46153  stoweidlem21  46261  stoweidlem47  46287  elaa2  46474  zlmodzxzscm  48599  2sphere0  48992  fvconstr  49103  fvconstrn0  49104