Theorem fvconst2g 6941

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 6540	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 6903	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 583	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525   × cxp 5517  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  fconst2g  6942  fvconst2  6943  ofc1  7412  ofc2  7413  caofid0l  7417  caofid0r  7418  caofid1  7419  caofid2  7420  fnsuppres  7840  ser0  13418  ser1const  13422  exp1  13431  expp1  13432  climconst2  14897  climaddc1  14983  climmulc2  14985  climsubc1  14986  climsubc2  14987  climlec2  15007  fsumconst  15137  supcvg  15203  prodf1  15239  prod0  15289  fprodconst  15324  seq1st  15905  algr0  15906  algrf  15907  ramz  16351  pwsbas  16752  pwsplusgval  16755  pwsmulrval  16756  pwsle  16757  pwsvscafval  16759  pwspjmhm  17986  pwsco1mhm  17988  pwsinvg  18204  mulgnngsum  18225  mulg1  18227  mulgnnp1  18228  mulgnnsubcl  18232  mulgnn0z  18246  mulgnndir  18248  mulgnn0di  18939  gsumconst  19047  pwslmod  19735  frlmvscaval  20457  psrlidm  20641  coe1tm  20902  coe1fzgsumd  20931  evl1scad  20959  decpmatid  21375  pmatcollpwscmatlem1  21394  lmconst  21866  cnconst2  21888  xkoptsub  22259  xkopt  22260  xkopjcn  22261  tmdgsum  22700  tmdgsum2  22701  symgtgp  22711  cstucnd  22890  pcoptcl  23626  pcopt  23627  pcopt2  23628  dvidlem  24518  dvconst  24520  dvnff  24526  dvn0  24527  dvcmul  24547  dvcmulf  24548  fta1blem  24769  plyeq0lem  24807  coemulc  24852  dgreq0  24862  dgrmulc  24868  qaa  24919  dchrisumlema  26072  suppovss  30443  fdifsuppconst  30449  ofcc  31475  ofcof  31476  sseqf  31760  sseqp1  31763  lpadleft  32064  cvmlift3lem9  32687  ismrer1  35276  frlmvscadiccat  39440  fsuppssind  39459  dvsinax  42555  stoweidlem21  42663  stoweidlem47  42689  elaa2  42876  zlmodzxzscm  44759  2sphere0  45164