Theorem fvconst2g 6958

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 6560	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 6920	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 582	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {csn 4560   × cxp 5547  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357

This theorem is referenced by:  fconst2g  6959  fvconst2  6960  ofc1  7426  ofc2  7427  caofid0l  7431  caofid0r  7432  caofid1  7433  caofid2  7434  fnsuppres  7851  ser0  13416  ser1const  13420  exp1  13429  expp1  13430  climconst2  14899  climaddc1  14985  climmulc2  14987  climsubc1  14988  climsubc2  14989  climlec2  15009  fsumconst  15139  supcvg  15205  prodf1  15241  prod0  15291  fprodconst  15326  seq1st  15909  algr0  15910  algrf  15911  ramz  16355  pwsbas  16754  pwsplusgval  16757  pwsmulrval  16758  pwsle  16759  pwsvscafval  16761  pwspjmhm  17988  pwsco1mhm  17990  pwsinvg  18206  mulgnngsum  18227  mulg1  18229  mulgnnp1  18230  mulgnnsubcl  18234  mulgnn0z  18248  mulgnndir  18250  mulgnn0di  18940  gsumconst  19048  pwslmod  19736  psrlidm  20177  coe1tm  20435  coe1fzgsumd  20464  evl1scad  20492  frlmvscaval  20906  decpmatid  21372  pmatcollpwscmatlem1  21391  lmconst  21863  cnconst2  21885  xkoptsub  22256  xkopt  22257  xkopjcn  22258  tmdgsum  22697  tmdgsum2  22698  symgtgp  22708  cstucnd  22887  pcoptcl  23619  pcopt  23620  pcopt2  23621  dvidlem  24507  dvconst  24508  dvnff  24514  dvn0  24515  dvcmul  24535  dvcmulf  24536  fta1blem  24756  plyeq0lem  24794  coemulc  24839  dgreq0  24849  dgrmulc  24855  qaa  24906  dchrisumlema  26058  suppovss  30420  ofcc  31360  ofcof  31361  sseqf  31645  sseqp1  31648  lpadleft  31949  cvmlift3lem9  32569  ismrer1  35110  frlmvscadiccat  39138  dvsinax  42190  stoweidlem21  42300  stoweidlem47  42326  elaa2  42513  zlmodzxzscm  44399  2sphere0  44731