Theorem fvconst2g 7195

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 6768	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 7154	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 579	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4620   × cxp 5664  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541

This theorem is referenced by:  fconst2g  7196  fvconst2  7197  ofc1  7689  ofc2  7690  caofid0l  7694  caofid0r  7695  caofid1  7696  caofid2  7697  fnsuppres  8170  ser0  14016  ser1const  14020  exp1  14029  expp1  14030  climconst2  15488  climaddc1  15575  climmulc2  15577  climsubc1  15578  climsubc2  15579  climlec2  15601  fsumconst  15732  supcvg  15798  prodf1  15833  prod0  15883  fprodconst  15918  seq1st  16504  algr0  16505  algrf  16506  ramz  16954  pwsbas  17429  pwsplusgval  17432  pwsmulrval  17433  pwsle  17434  pwsvscafval  17436  pwspjmhm  18742  pwsco1mhm  18744  pwsinvg  18968  mulgnngsum  18991  mulg1  18993  mulgnnp1  18994  mulgnnsubcl  18998  mulgnn0z  19013  mulgnndir  19015  mulgnn0di  19730  gsumconst  19839  pwslmod  20802  frlmvscaval  21623  psrlidm  21824  coe1tm  22105  coe1fzgsumd  22136  evl1scad  22164  decpmatid  22582  pmatcollpwscmatlem1  22601  lmconst  23075  cnconst2  23097  xkoptsub  23468  xkopt  23469  xkopjcn  23470  tmdgsum  23909  tmdgsum2  23910  symgtgp  23920  cstucnd  24099  pcoptcl  24858  pcopt  24859  pcopt2  24860  dvidlem  25754  dvconst  25756  dvnff  25763  dvn0  25764  dvcmul  25785  dvcmulf  25786  fta1blem  26014  plyeq0lem  26052  coemulc  26097  dgreq0  26108  dgrmulc  26114  qaa  26165  dchrisumlema  27325  suppovss  32330  fdifsuppconst  32335  evls1scafv  33074  ofcc  33559  ofcof  33560  sseqf  33846  sseqp1  33849  lpadleft  34150  cvmlift3lem9  34773  ismrer1  37162  frlmvscadiccat  41539  evlsscaval  41591  fsuppssind  41620  ofoafo  42561  ofoaid1  42563  ofoaid2  42564  naddcnffo  42569  naddcnfid1  42572  dvsinax  45080  stoweidlem21  45188  stoweidlem47  45214  elaa2  45401  zlmodzxzscm  47188  2sphere0  47590  fvconstr  47676  fvconstrn0  47677