Theorem fvconst2g 7142

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 6715	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 7102	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4575   × cxp 5617  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494

This theorem is referenced by:  fconst2g  7143  fvconst2  7144  ofc1  7644  ofc2  7645  caofid0l  7649  caofid0r  7650  caofid1  7651  caofid2  7652  fnsuppres  8127  ser0  13963  ser1const  13967  exp1  13976  expp1  13977  climconst2  15457  climaddc1  15544  climmulc2  15546  climsubc1  15547  climsubc2  15548  climlec2  15568  fsumconst  15699  supcvg  15765  prodf1  15800  prod0  15852  fprodconst  15887  seq1st  16484  algr0  16485  algrf  16486  ramz  16939  pwsbas  17393  pwsplusgval  17396  pwsmulrval  17397  pwsle  17398  pwsvscafval  17400  pwspjmhm  18740  pwsco1mhm  18742  pwsinvg  18968  mulgnngsum  18994  mulg1  18996  mulgnnp1  18997  mulgnnsubcl  19001  mulgnn0z  19016  mulgnndir  19018  mulgnn0di  19739  gsumconst  19848  pwslmod  20905  frlmvscaval  21707  psrlidm  21900  psrascl  21917  coe1tm  22188  coe1fzgsumd  22220  evl1scad  22251  evls1scafv  22282  decpmatid  22686  pmatcollpwscmatlem1  22705  lmconst  23177  cnconst2  23199  xkoptsub  23570  xkopt  23571  xkopjcn  23572  tmdgsum  24011  tmdgsum2  24012  symgtgp  24022  cstucnd  24199  pcoptcl  24949  pcopt  24950  pcopt2  24951  dvidlem  25844  dvconst  25846  dvnff  25853  dvn0  25854  dvcmul  25875  dvcmulf  25876  fta1blem  26104  plyeq0lem  26143  coemulc  26188  dgreq0  26199  dgrmulc  26205  qaa  26259  dchrisumlema  27427  exps1  28352  expsp1  28353  constcof  32606  suppovss  32666  fdifsuppconst  32674  ofcc  34140  ofcof  34141  sseqf  34426  sseqp1  34429  lpadleft  34717  cvmlift3lem9  35392  ismrer1  37898  frlmvscadiccat  42624  evlsscaval  42682  fsuppssind  42711  ofoafo  43473  ofoaid1  43475  ofoaid2  43476  naddcnffo  43481  naddcnfid1  43484  dvsinax  46035  stoweidlem21  46143  stoweidlem47  46169  elaa2  46356  zlmodzxzscm  48481  2sphere0  48875  fvconstr  48986  fvconstrn0  48987