Theorem fvconst2g 7157

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 6727	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 7117	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4567   × cxp 5629  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506

This theorem is referenced by:  fconst2g  7158  fvconst2  7159  ofc1  7659  ofc2  7660  caofid0l  7664  caofid0r  7665  caofid1  7666  caofid2  7667  fnsuppres  8141  ser0  14016  ser1const  14020  exp1  14029  expp1  14030  climconst2  15510  climaddc1  15597  climmulc2  15599  climsubc1  15600  climsubc2  15601  climlec2  15621  fsumconst  15752  supcvg  15821  prodf1  15856  prod0  15908  fprodconst  15943  seq1st  16540  algr0  16541  algrf  16542  ramz  16996  pwsbas  17450  pwsplusgval  17454  pwsmulrval  17455  pwsle  17456  pwsvscafval  17458  pwspjmhm  18798  pwsco1mhm  18800  pwsinvg  19029  mulgnngsum  19055  mulg1  19057  mulgnnp1  19058  mulgnnsubcl  19062  mulgnn0z  19077  mulgnndir  19079  mulgnn0di  19800  gsumconst  19909  pwslmod  20965  frlmvscaval  21748  psrlidm  21940  psrascl  21957  coe1tm  22238  coe1fzgsumd  22269  evl1scad  22300  evls1scafv  22331  decpmatid  22735  pmatcollpwscmatlem1  22754  lmconst  23226  cnconst2  23248  xkoptsub  23619  xkopt  23620  xkopjcn  23621  tmdgsum  24060  tmdgsum2  24061  symgtgp  24071  cstucnd  24248  pcoptcl  24988  pcopt  24989  pcopt2  24990  dvidlem  25882  dvconst  25884  dvnff  25890  dvn0  25891  dvcmul  25911  dvcmulf  25912  fta1blem  26136  plyeq0lem  26175  coemulc  26220  dgreq0  26230  dgrmulc  26236  qaa  26289  dchrisumlema  27451  exps1  28420  expsp1  28421  constcof  32694  suppovss  32754  fdifsuppconst  32762  evlscaval  33684  ofcc  34250  ofcof  34251  sseqf  34536  sseqp1  34539  lpadleft  34827  cvmlift3lem9  35509  ismrer1  38159  frlmvscadiccat  42951  evlsscaval  43000  fsuppssind  43026  ofoafo  43784  ofoaid1  43786  ofoaid2  43787  naddcnffo  43792  naddcnfid1  43795  dvsinax  46341  stoweidlem21  46449  stoweidlem47  46475  elaa2  46662  zlmodzxzscm  48833  2sphere0  49226  fvconstr  49337  fvconstrn0  49338