Theorem fvconst2g 7182

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 6747	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 7142	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 589	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {csn 4581   × cxp 5643  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525

This theorem is referenced by:  fconst2g  7183  fvconst2  7184  ofc1  7684  ofc2  7685  caofid0l  7689  caofid0r  7690  caofid1  7691  caofid2  7692  fnsuppres  8166  ser0  14064  ser1const  14068  exp1  14077  expp1  14078  climconst2  15558  climaddc1  15645  climmulc2  15647  climsubc1  15648  climsubc2  15649  climlec2  15669  fsumconst  15800  supcvg  15869  prodf1  15904  prod0  15956  fprodconst  15991  seq1st  16588  algr0  16589  algrf  16590  ramz  17044  pwsbas  17499  pwsplusgval  17503  pwsmulrval  17504  pwsle  17505  pwsvscafval  17507  pwspjmhm  18847  pwsco1mhm  18849  pwsinvg  19078  mulgnngsum  19104  mulg1  19106  mulgnnp1  19107  mulgnnsubcl  19111  mulgnn0z  19126  mulgnndir  19128  mulgnn0di  19848  gsumconst  19957  pwslmod  21017  frlmvscaval  21800  psrlidm  21993  psrascl  22010  evlsscaval  22159  coe1tm  22316  coe1fzgsumd  22347  evl1scad  22378  evls1scafv  22409  decpmatid  22810  pmatcollpwscmatlem1  22829  lmconst  23301  cnconst2  23323  xkoptsub  23694  xkopt  23695  xkopjcn  23696  tmdgsum  24135  tmdgsum2  24136  symgtgp  24146  cstucnd  24323  pcoptcl  25063  pcopt  25064  pcopt2  25065  dvidlem  25957  dvconst  25959  dvnff  25965  dvn0  25966  dvcmul  25986  dvcmulf  25987  fta1blem  26211  plyeq0lem  26250  coemulc  26295  dgreq0  26305  dgrmulc  26311  qaa  26364  dchrisumlema  27529  exps1  28498  expsp1  28499  constcof  32773  suppovss  32833  fdifsuppconst  32841  evlscaval  33798  ofcc  34364  ofcof  34365  sseqf  34650  sseqp1  34653  lpadleft  34944  cvmlift3lem9  35641  ismrer1  38301  frlmvscadiccat  43092  fsuppssind  43139  ofoafo  43897  ofoaid1  43899  ofoaid2  43900  naddcnffo  43905  naddcnfid1  43908  dvsinax  46451  stoweidlem21  46559  stoweidlem47  46585  elaa2  46772  zlmodzxzscm  48943  2sphere0  49336  fvconstr  49447  fvconstrn0  49448