Theorem pell14qrreccl 43669

Description: Positive Pell solutions are closed under reciprocal. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrreccl	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 / 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrreccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pell1234qrreccl 43659	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (1 / 𝐴) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
2	1	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → (1 / 𝐴) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
3		pell1234qrre 43657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < 𝐴)
6	4, 5	recgt0d 12169	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < (1 / 𝐴))
7	2, 6	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → ((1 / 𝐴) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < (1 / 𝐴)))
8	7	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < (1 / 𝐴))))
9		elpell14qr2 43667	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)))
10		elpell14qr2 43667	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((1 / 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ ((1 / 𝐴) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < (1 / 𝐴))))
11	8, 9, 10	3imtr4d 297	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → (1 / 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
12	11	imp 412	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (1 / 𝐴) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   class class class wbr 5111  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ℝcr 11119  0cc0 11120  1c1 11121   < clt 11263   / cdiv 11891  ℕcn 12253  ◻_NNcsquarenn 43641  Pell1234QRcpell1234qr 43643  Pell14QRcpell14qr 43644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-sup 9410  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12884  df-rp 13038  df-seq 14061  df-exp 14121  df-cj 15179  df-re 15180  df-im 15181  df-sqrt 15315  df-abs 15316  df-pell14qr 43648  df-pell1234qr 43649

This theorem is used by:  pell14qrdivcl  43670  pell14qrexpcl  43672