Theorem elpell14qr2 42346

Description: A number is a positive Pell solution iff it is positive and a Pell solution, justifying our name choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elpell14qr2	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)))

Proof of Theorem elpell14qr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pell14qrss1234 42340	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘𝐷) ⊆ (Pell1234QR‘𝐷))
2	1	sselda 3972	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
3		pell14qrgt0 42343	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝐴)
4	2, 3	jca 510	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴))
5		0re 11244	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		pell1234qrre 42336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		ltnsym 11340	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 0))
8	5, 6, 7	sylancr 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (0 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 0))
9	8	impr 453	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → ¬ 𝐴 < 0)
10	6	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	lt0neg1d 11811	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
12	9, 11	mtbid 323	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → ¬ 0 < -𝐴)
13		pell14qrgt0 42343	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < -𝐴)
14	13	ex 411	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (-𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → 0 < -𝐴))
15	14	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → (-𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → 0 < -𝐴))
16	12, 15	mtod 197	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → ¬ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
17		pell1234qrdich 42345	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
18	17	adantrr 715	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
19		orel2 888	. . 3 ⊢ (¬ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → ((𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
20	16, 18, 19	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
21	4, 20	impbida 799	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3937   class class class wbr 5143  ‘cfv 6542  ℝcr 11135  0cc0 11136   < clt 11276  -cneg 11473  ℕcn 12240  ◻_NNcsquarenn 42320  Pell1234QRcpell1234qr 42322  Pell14QRcpell14qr 42323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-pell14qr 42327  df-pell1234qr 42328

This theorem is referenced by:  pell14qrmulcl  42347  pell14qrreccl  42348