Theorem elpell14qr2 43312

Description: A number is a positive Pell solution iff it is positive and a Pell solution, justifying our name choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elpell14qr2	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)))

Proof of Theorem elpell14qr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pell14qrss1234 43306	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘𝐷) ⊆ (Pell1234QR‘𝐷))
2	1	sselda 3922	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
3		pell14qrgt0 43309	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < 𝐴)
4	2, 3	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴))
5		0re 11141	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		pell1234qrre 43302	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		ltnsym 11239	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 0))
8	5, 6, 7	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (0 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 0))
9	8	impr 454	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → ¬ 𝐴 < 0)
10	6	adantrr 718	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	lt0neg1d 11714	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
12	9, 11	mtbid 324	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → ¬ 0 < -𝐴)
13		pell14qrgt0 43309	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 0 < -𝐴)
14	13	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (-𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → 0 < -𝐴))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → (-𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → 0 < -𝐴))
16	12, 15	mtod 198	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → ¬ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
17		pell1234qrdich 43311	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
18	17	adantrr 718	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
19		orel2 891	. . 3 ⊢ (¬ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → ((𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
20	16, 18, 19	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
21	4, 20	impbida 801	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  ℝcr 11032  0cc0 11033   < clt 11174  -cneg 11373  ℕcn 12169  ◻_NNcsquarenn 43286  Pell1234QRcpell1234qr 43288  Pell14QRcpell14qr 43289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-pell14qr 43293  df-pell1234qr 43294

This theorem is referenced by:  pell14qrmulcl  43313  pell14qrreccl  43314