Theorem pell14qrmulcl 43618

Description: Positive Pell solutions are closed under multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrmulcl	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
2		simprll 790	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
3		simprrl 792	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
4		pell1234qrmulcl 43610	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1397	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
6		pell1234qrre 43607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	2, 6	syldan 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		pell1234qrre 43607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	3, 8	syldan 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simprlr 791	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 0 < 𝐴)
11		simprrr 793	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 0 < 𝐵)
12	7, 9, 10, 11	mulgt0d 11371	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
13	5, 12	jca 520	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
14	13	ex 417	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
15		elpell14qr2 43617	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)))
16		elpell14qr2 43617	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵)))
17	15, 16	anbi12d 643	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))))
18		elpell14qr2 43617	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
19	14, 17, 18	3imtr4d 297	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
20	19	3impib 1133	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142   ∖ cdif 3901   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106   · cmul 11111   < clt 11249  ℕcn 12239  ◻_NNcsquarenn 43591  Pell1234QRcpell1234qr 43593  Pell14QRcpell14qr 43594

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-pell14qr 43598  df-pell1234qr 43599

This theorem is used by:  pell14qrdivcl  43620  pell14qrexpclnn0  43621  pellfund14  43653