Theorem pell14qrmulcl 42344

Description: Positive Pell solutions are closed under multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrmulcl	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
2		simprll 777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
3		simprrl 779	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
4		pell1234qrmulcl 42336	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
6		pell1234qrre 42333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	2, 6	syldan 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		pell1234qrre 42333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	3, 8	syldan 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simprlr 778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 0 < 𝐴)
11		simprrr 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 0 < 𝐵)
12	7, 9, 10, 11	mulgt0d 11394	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
13	5, 12	jca 510	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
14	13	ex 411	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
15		elpell14qr2 42343	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)))
16		elpell14qr2 42343	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵)))
17	15, 16	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))))
18		elpell14qr2 42343	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
19	14, 17, 18	3imtr4d 293	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
20	19	3impib 1113	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3938   class class class wbr 5144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℝcr 11132  0cc0 11133   · cmul 11138   < clt 11273  ℕcn 12237  ◻_NNcsquarenn 42317  Pell1234QRcpell1234qr 42319  Pell14QRcpell14qr 42320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-pell14qr 42324  df-pell1234qr 42325

This theorem is referenced by:  pell14qrdivcl  42346  pell14qrexpclnn0  42347  pellfund14  42379