Theorem pell14qrmulcl 42205

Description: Positive Pell solutions are closed under multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrmulcl	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
2		simprll 778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
3		simprrl 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
4		pell1234qrmulcl 42197	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
6		pell1234qrre 42194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	2, 6	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		pell1234qrre 42194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	3, 8	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simprlr 779	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 0 < 𝐴)
11		simprrr 781	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 0 < 𝐵)
12	7, 9, 10, 11	mulgt0d 11391	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
13	5, 12	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
14	13	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
15		elpell14qr2 42204	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)))
16		elpell14qr2 42204	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵)))
17	15, 16	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))))
18		elpell14qr2 42204	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
19	14, 17, 18	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
20	19	3impib 1114	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3941   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11129  0cc0 11130   · cmul 11135   < clt 11270  ℕcn 12234  ◻_NNcsquarenn 42178  Pell1234QRcpell1234qr 42180  Pell14QRcpell14qr 42181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-pell14qr 42185  df-pell1234qr 42186

This theorem is referenced by:  pell14qrdivcl  42207  pell14qrexpclnn0  42208  pellfund14  42240