Theorem pell14qrmulcl 41586

Description: Positive Pell solutions are closed under multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell14qrmulcl	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell14qrmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
2		simprll 777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
3		simprrl 779	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
4		pell1234qrmulcl 41578	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))
6		pell1234qrre 41575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	2, 6	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		pell1234qrre 41575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	3, 8	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		simprlr 778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 0 < 𝐴)
11		simprrr 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 0 < 𝐵)
12	7, 9, 10, 11	mulgt0d 11365	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
13	5, 12	jca 512	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
14	13	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
15		elpell14qr2 41585	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴)))
16		elpell14qr2 41585	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵)))
17	15, 16	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) ↔ ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < 𝐵))))
18		elpell14qr2 41585	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵))))
19	14, 17, 18	3imtr4d 293	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
20	19	3impib 1116	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell14QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3944   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106   · cmul 11111   < clt 11244  ℕcn 12208  ◻_NNcsquarenn 41559  Pell1234QRcpell1234qr 41561  Pell14QRcpell14qr 41562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-pell14qr 41566  df-pell1234qr 41567

This theorem is referenced by:  pell14qrdivcl  41588  pell14qrexpclnn0  41589  pellfund14  41621