Theorem permaxext 45828

Description: The Axiom of Extensionality ax-ext 2732 holds in permutation models. Part of Exercise II.9.2 of [Kunen2] p. 148. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
permmodel.1	⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
permmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )

Assertion

Ref	Expression
permaxext	⊢ (∀𝑧(𝑧𝑅𝑥 ↔ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑥 = 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝐹

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem permaxext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		permmodel.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
2		permmodel.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
3		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
4		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	1, 2, 3, 4	brpermmodel 45826	. . . . 5 ⊢ (𝑧𝑅𝑥 ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑥))
6		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
7	1, 2, 3, 6	brpermmodel 45826	. . . . 5 ⊢ (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑦))
8	5, 7	bibi12i 342	. . . 4 ⊢ ((𝑧𝑅𝑥 ↔ 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝑧 ∈ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑦)))
9	8	albii 1852	. . 3 ⊢ (∀𝑧(𝑧𝑅𝑥 ↔ 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑦)))
10		dfcleq 2753	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘𝑦)))
11	9, 10	bitr4i 281	. 2 ⊢ (∀𝑧(𝑧𝑅𝑥 ↔ 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
12		f1of1 6816	. . . . 5 ⊢ (𝐹:V–1-1-onto→V → 𝐹:V–1-1→V)
13	1, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐹:V–1-1→V
14		f1veqaeq 7253	. . . 4 ⊢ ((𝐹:V–1-1→V ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
15	13, 14	mpan 703	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
16	15	el2v 3457	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
17	11, 16	sylbi 220	1 ⊢ (∀𝑧(𝑧𝑅𝑥 ↔ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑥 = 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   class class class wbr 5103   E cep 5554  ^◡ccnv 5654   ∘ ccom 5659  –1-1→wf1 6530  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-eprel 5555  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-f1o 6540  df-fv 6541

This theorem is used by:  nregmodelaxext  45841