Theorem brpermmodelcnv 45448

Description: Ordinary membership expressed in terms of the permutation model's membership relation. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
permmodel.1	⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
permmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
brpermmodel.3	⊢ 𝐴 ∈ V
brpermmodel.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brpermmodelcnv	⊢ (𝐴𝑅(◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem brpermmodelcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		permmodel.1	. . 3 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
2		permmodel.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
3		brpermmodel.3	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		fvex 6840	. . 3 ⊢ (◡𝐹‘𝐵) ∈ V
5	1, 2, 3, 4	brpermmodel 45447	. 2 ⊢ (𝐴𝑅(◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐹‘(◡𝐹‘𝐵)))
6		brpermmodel.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		f1ocnvfv2 7221	. . . 4 ⊢ ((𝐹:V–1-1-onto→V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐵)) = 𝐵)
8	1, 6, 7	mp2an 698	. . 3 ⊢ (𝐹‘(◡𝐹‘𝐵)) = 𝐵
9	8	eleq2i 2831	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘(◡𝐹‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵)
10	5, 9	bitri 276	1 ⊢ (𝐴𝑅(◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   class class class wbr 5072   E cep 5517  ^◡ccnv 5617   ∘ ccom 5622  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-eprel 5518  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493

This theorem is referenced by:  permaxsep  45451  permaxnul  45452  permaxpow  45453  permaxpr  45454  permaxun  45455  permaxinf2lem  45456  permac8prim  45458