Theorem brpermmodelcnv 45600

Description: Ordinary membership expressed in terms of the permutation model's membership relation. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
permmodel.1	⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
permmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
brpermmodel.3	⊢ 𝐴 ∈ V
brpermmodel.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brpermmodelcnv	⊢ (𝐴𝑅(◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem brpermmodelcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		permmodel.1	. . 3 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
2		permmodel.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
3		brpermmodel.3	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		fvex 6892	. . 3 ⊢ (◡𝐹‘𝐵) ∈ V
5	1, 2, 3, 4	brpermmodel 45599	. 2 ⊢ (𝐴𝑅(◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐹‘(◡𝐹‘𝐵)))
6		brpermmodel.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		f1ocnvfv2 7273	. . . 4 ⊢ ((𝐹:V–1-1-onto→V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐵)) = 𝐵)
8	1, 6, 7	mp2an 704	. . 3 ⊢ (𝐹‘(◡𝐹‘𝐵)) = 𝐵
9	8	eleq2i 2861	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘(◡𝐹‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵)
10	5, 9	bitri 278	1 ⊢ (𝐴𝑅(◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   class class class wbr 5110   E cep 5558  ^◡ccnv 5658   ∘ ccom 5663  –1-1-onto→wf1o 6533  ‘cfv 6534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5554  df-eprel 5559  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542

This theorem is referenced by:  permaxsep  45603  permaxnul  45604  permaxpow  45605  permaxpr  45606  permaxun  45607  permaxinf2lem  45608  permac8prim  45610