Theorem brpermmodelcnv 45771

Description: Ordinary membership expressed in terms of the permutation model's membership relation. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
permmodel.1	⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
permmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
brpermmodel.3	⊢ 𝐴 ∈ V
brpermmodel.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brpermmodelcnv	⊢ (𝐴𝑅(◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem brpermmodelcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		permmodel.1	. . 3 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
2		permmodel.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
3		brpermmodel.3	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		fvex 6898	. . 3 ⊢ (◡𝐹‘𝐵) ∈ V
5	1, 2, 3, 4	brpermmodel 45770	. 2 ⊢ (𝐴𝑅(◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐹‘(◡𝐹‘𝐵)))
6		brpermmodel.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		f1ocnvfv2 7284	. . . 4 ⊢ ((𝐹:V–1-1-onto→V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐵)) = 𝐵)
8	1, 6, 7	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐹‘(◡𝐹‘𝐵)) = 𝐵
9	8	eleq2i 2857	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘(◡𝐹‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵)
10	5, 9	bitri 278	1 ⊢ (𝐴𝑅(◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   E cep 5562  ^◡ccnv 5662   ∘ ccom 5667  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-eprel 5563  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548

This theorem is used by:  permaxsep  45774  permaxnul  45775  permaxpow  45776  permaxpr  45777  permaxun  45778  permaxinf2lem  45779  permac8prim  45781