Theorem brpermmodelcnv 44967

Description: Ordinary membership expressed in terms of the permutation model's membership relation. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
permmodel.1	⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
permmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
brpermmodel.3	⊢ 𝐴 ∈ V
brpermmodel.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brpermmodelcnv	⊢ (𝐴𝑅(◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem brpermmodelcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		permmodel.1	. . 3 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
2		permmodel.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
3		brpermmodel.3	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		fvex 6853	. . 3 ⊢ (◡𝐹‘𝐵) ∈ V
5	1, 2, 3, 4	brpermmodel 44966	. 2 ⊢ (𝐴𝑅(◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐹‘(◡𝐹‘𝐵)))
6		brpermmodel.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		f1ocnvfv2 7234	. . . 4 ⊢ ((𝐹:V–1-1-onto→V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝐵)) = 𝐵)
8	1, 6, 7	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝐹‘(◡𝐹‘𝐵)) = 𝐵
9	8	eleq2i 2820	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘(◡𝐹‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵)
10	5, 9	bitri 275	1 ⊢ (𝐴𝑅(◡𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   class class class wbr 5102   E cep 5530  ^◡ccnv 5630   ∘ ccom 5635  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-eprel 5531  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507

This theorem is referenced by:  permaxsep  44970  permaxnul  44971  permaxpow  44972  permaxpr  44973  permaxun  44974  permaxinf2lem  44975  permac8prim  44977