Theorem petid2 39356

Description: Class 𝐴 is a partition by the identity class if and only if the cosets by the identity class are in equivalence relation on it. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
petid2	⊢ (( Disj I ∧ (dom I / I ) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ≀ I ∧ (dom ≀ I / ≀ I ) = 𝐴))

Proof of Theorem petid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjALTVid 39292	. 2 ⊢ Disj I
2	1	petlemi 39353	1 ⊢ (( Disj I ∧ (dom I / I ) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ≀ I ∧ (dom ≀ I / ≀ I ) = 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550   I cid 5530  dom cdm 5636   / cqs 8661   ≀ ccoss 38620   EqvRel weqvrel 38637   Disj wdisjALTV 38656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-pr 5380

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-rab 3405  df-v 3446  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-br 5091  df-opab 5153  df-id 5531  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-ec 8664  df-qs 8668  df-coss 38938  df-refrel 39029  df-cnvrefrel 39044  df-symrel 39061  df-trrel 39095  df-eqvrel 39106  df-disjALTV 39227

This theorem is referenced by:  petid  39357