Theorem petid2 39670

Description: Class 𝐴 is a partition by the identity class if and only if the cosets by the identity class are in equivalence relation on it. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
petid2	⊢ (( Disj I ∧ (dom I / I ) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ≀ I ∧ (dom ≀ I / ≀ I ) = 𝐴))

Proof of Theorem petid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjALTVid 39606	. 2 ⊢ Disj I
2	1	petlemi 39667	1 ⊢ (( Disj I ∧ (dom I / I ) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ≀ I ∧ (dom ≀ I / ≀ I ) = 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   I cid 5549  dom cdm 5655   / cqs 8698   ≀ ccoss 38934   EqvRel weqvrel 38951   Disj wdisjALTV 38970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ec 8701  df-qs 8705  df-coss 39252  df-refrel 39343  df-cnvrefrel 39358  df-symrel 39375  df-trrel 39409  df-eqvrel 39420  df-disjALTV 39541

This theorem is used by:  petid  39671