Theorem pet0 38817

Description: Class 𝐴 is a partition by the null class if and only if the cosets by the null class are in equivalence relation on it. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pet0	⊢ (∅ Part 𝐴 ↔ ≀ ∅ ErALTV 𝐴)

Proof of Theorem pet0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pet02 38816	. 2 ⊢ (( Disj ∅ ∧ (dom ∅ / ∅) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ≀ ∅ ∧ (dom ≀ ∅ / ≀ ∅) = 𝐴))
2		dfpart2 38771	. 2 ⊢ (∅ Part 𝐴 ↔ ( Disj ∅ ∧ (dom ∅ / ∅) = 𝐴))
3		dferALTV2 38670	. 2 ⊢ ( ≀ ∅ ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel ≀ ∅ ∧ (dom ≀ ∅ / ≀ ∅) = 𝐴))
4	1, 2, 3	3bitr4i 303	1 ⊢ (∅ Part 𝐴 ↔ ≀ ∅ ErALTV 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∅c0 4332  dom cdm 5684   / cqs 8745   ≀ ccoss 38183   EqvRel weqvrel 38200   ErALTV werALTV 38209   Disj wdisjALTV 38217   Part wpart 38222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ec 8748  df-qs 8752  df-coss 38413  df-refrel 38514  df-cnvrefrel 38529  df-symrel 38546  df-trrel 38576  df-eqvrel 38587  df-dmqs 38641  df-erALTV 38666  df-disjALTV 38707  df-part 38768

This theorem is referenced by: (None)