Theorem petid 38773

Description: A class is a partition by the identity class if and only if the cosets by the identity class are in equivalence relation on it. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
petid	⊢ ( I Part 𝐴 ↔ ≀ I ErALTV 𝐴)

Proof of Theorem petid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		petid2 38772	. 2 ⊢ (( Disj I ∧ (dom I / I ) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ≀ I ∧ (dom ≀ I / ≀ I ) = 𝐴))
2		dfpart2 38725	. 2 ⊢ ( I Part 𝐴 ↔ ( Disj I ∧ (dom I / I ) = 𝐴))
3		dferALTV2 38624	. 2 ⊢ ( ≀ I ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel ≀ I ∧ (dom ≀ I / ≀ I ) = 𝐴))
4	1, 2, 3	3bitr4i 303	1 ⊢ ( I Part 𝐴 ↔ ≀ I ErALTV 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   I cid 5592  dom cdm 5700   / cqs 8762   ≀ ccoss 38135   EqvRel weqvrel 38152   ErALTV werALTV 38161   Disj wdisjALTV 38169   Part wpart 38174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ec 8765  df-qs 8769  df-coss 38367  df-refrel 38468  df-cnvrefrel 38483  df-symrel 38500  df-trrel 38530  df-eqvrel 38541  df-dmqs 38595  df-erALTV 38620  df-disjALTV 38661  df-part 38722

This theorem is referenced by: (None)