Theorem petid 39458

Description: A class is a partition by the identity class if and only if the cosets by the identity class are in equivalence relation on it. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
petid	⊢ ( I Part 𝐴 ↔ ≀ I ErALTV 𝐴)

Proof of Theorem petid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		petid2 39457	. 2 ⊢ (( Disj I ∧ (dom I / I ) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ≀ I ∧ (dom ≀ I / ≀ I ) = 𝐴))
2		dfpart2 39410	. 2 ⊢ ( I Part 𝐴 ↔ ( Disj I ∧ (dom I / I ) = 𝐴))
3		dferALTV2 39291	. 2 ⊢ ( ≀ I ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel ≀ I ∧ (dom ≀ I / ≀ I ) = 𝐴))
4	1, 2, 3	3bitr4i 306	1 ⊢ ( I Part 𝐴 ↔ ≀ I ErALTV 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   I cid 5556  dom cdm 5662   / cqs 8692   ≀ ccoss 38721   EqvRel weqvrel 38738   ErALTV werALTV 38747   Disj wdisjALTV 38757   Part wpart 38762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ec 8695  df-qs 8699  df-coss 39039  df-refrel 39130  df-cnvrefrel 39145  df-symrel 39162  df-trrel 39196  df-eqvrel 39207  df-dmqs 39261  df-erALTV 39287  df-disjALTV 39328  df-part 39407

This theorem is referenced by: (None)