Theorem petid 39989

Description: A class is a partition by the identity class if and only if the cosets by the identity class are in equivalence relation on it. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
petid	⊢ ( I Part 𝐴 ↔ ≀ I ErALTV 𝐴)

Proof of Theorem petid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		petid2 39988	. 2 ⊢ (( Disj I ∧ (dom I / I ) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ≀ I ∧ (dom ≀ I / ≀ I ) = 𝐴))
2		dfpart2 39941	. 2 ⊢ ( I Part 𝐴 ↔ ( Disj I ∧ (dom I / I ) = 𝐴))
3		dferALTV2 39822	. 2 ⊢ ( ≀ I ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel ≀ I ∧ (dom ≀ I / ≀ I ) = 𝐴))
4	1, 2, 3	3bitr4i 306	1 ⊢ ( I Part 𝐴 ↔ ≀ I ErALTV 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   I cid 5545  dom cdm 5651   / cqs 8724   ≀ ccoss 39252   EqvRel weqvrel 39269   ErALTV werALTV 39278   Disj wdisjALTV 39288   Part wpart 39293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ec 8727  df-qs 8731  df-coss 39570  df-refrel 39661  df-cnvrefrel 39676  df-symrel 39693  df-trrel 39727  df-eqvrel 39738  df-dmqs 39792  df-erALTV 39818  df-disjALTV 39859  df-part 39938

This theorem is used by: (None)