Theorem petid 39569

Description: A class is a partition by the identity class if and only if the cosets by the identity class are in equivalence relation on it. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
petid	⊢ ( I Part 𝐴 ↔ ≀ I ErALTV 𝐴)

Proof of Theorem petid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		petid2 39568	. 2 ⊢ (( Disj I ∧ (dom I / I ) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ≀ I ∧ (dom ≀ I / ≀ I ) = 𝐴))
2		dfpart2 39521	. 2 ⊢ ( I Part 𝐴 ↔ ( Disj I ∧ (dom I / I ) = 𝐴))
3		dferALTV2 39402	. 2 ⊢ ( ≀ I ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel ≀ I ∧ (dom ≀ I / ≀ I ) = 𝐴))
4	1, 2, 3	3bitr4i 306	1 ⊢ ( I Part 𝐴 ↔ ≀ I ErALTV 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   I cid 5555  dom cdm 5661   / cqs 8689   ≀ ccoss 38832   EqvRel weqvrel 38849   ErALTV werALTV 38858   Disj wdisjALTV 38868   Part wpart 38873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ec 8692  df-qs 8696  df-coss 39150  df-refrel 39241  df-cnvrefrel 39256  df-symrel 39273  df-trrel 39307  df-eqvrel 39318  df-dmqs 39372  df-erALTV 39398  df-disjALTV 39439  df-part 39518

This theorem is referenced by: (None)