Theorem preel 38612

Description: Predecessor is a subset of its successor. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
preel	⊢ (𝑁 ∈ Suc → pre 𝑁 ∈ 𝑁)

Proof of Theorem preel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preex 38604	. . 3 ⊢ pre 𝑁 ∈ V
2	1	sucid 6399	. 2 ⊢ pre 𝑁 ∈ suc pre 𝑁
3		sucpre 38609	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Suc → suc pre 𝑁 = 𝑁)
4	2, 3	eleqtrid 2840	1 ⊢ (𝑁 ∈ Suc → pre 𝑁 ∈ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  suc csuc 6317   Suc csuccl 38318   pre cpre 38319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-reg 9495

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-eprel 5522  df-fr 5575  df-xp 5628  df-cnv 5630  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-suc 6321  df-iota 6446  df-sucmap 38575  df-succl 38582  df-pre 38588

This theorem is referenced by: (None)