Theorem sucpre 39429

Description: suc is a right-inverse of pre on Suc. This theorem states the partial inverse relation in the direction we most often need. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sucpre	⊢ (𝑁 ∈ Suc → suc pre 𝑁 = 𝑁)

Proof of Theorem sucpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		presucmap 39427	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ran SucMap → pre 𝑁 SucMap 𝑁)
2		preex 39424	. . . 4 ⊢ pre 𝑁 ∈ V
3		brsucmap 39398	. . . 4 ⊢ (( pre 𝑁 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ran SucMap ) → ( pre 𝑁 SucMap 𝑁 ↔ suc pre 𝑁 = 𝑁))
4	2, 3	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ran SucMap → ( pre 𝑁 SucMap 𝑁 ↔ suc pre 𝑁 = 𝑁))
5	1, 4	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ran SucMap → suc pre 𝑁 = 𝑁)
6		df-succl 39401	. 2 ⊢ Suc = ran SucMap
7	5, 6	eleq2s 2879	1 ⊢ (𝑁 ∈ Suc → suc pre 𝑁 = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  ran crn 5652  suc csuc 6364   SucMap csucmap 39110   Suc csuccl 39111   pre cpre 39112

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-reg 9586

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-eprel 5551  df-fr 5604  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-suc 6368  df-iota 6494  df-sucmap 39394  df-succl 39401  df-pre 39407

This theorem is used by:  presuc  39430  press  39431  preel  39432