Theorem sucpre 38670

Description: suc is a right-inverse of pre on Suc. This theorem states the partial inverse relation in the direction we most often need. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sucpre	⊢ (𝑁 ∈ Suc → suc pre 𝑁 = 𝑁)

Proof of Theorem sucpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		presucmap 38668	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ran SucMap → pre 𝑁 SucMap 𝑁)
2		preex 38665	. . . 4 ⊢ pre 𝑁 ∈ V
3		brsucmap 38640	. . . 4 ⊢ (( pre 𝑁 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ran SucMap ) → ( pre 𝑁 SucMap 𝑁 ↔ suc pre 𝑁 = 𝑁))
4	2, 3	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ran SucMap → ( pre 𝑁 SucMap 𝑁 ↔ suc pre 𝑁 = 𝑁))
5	1, 4	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ran SucMap → suc pre 𝑁 = 𝑁)
6		df-succl 38643	. 2 ⊢ Suc = ran SucMap
7	5, 6	eleq2s 2854	1 ⊢ (𝑁 ∈ Suc → suc pre 𝑁 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   class class class wbr 5098  ran crn 5625  suc csuc 6319   SucMap csucmap 38378   Suc csuccl 38379   pre cpre 38380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-reg 9497

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-eprel 5524  df-fr 5577  df-xp 5630  df-cnv 5632  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-suc 6323  df-iota 6448  df-sucmap 38636  df-succl 38643  df-pre 38649

This theorem is referenced by:  presuc  38671  press  38672  preel  38673