Theorem sucpre 39566

Description: suc is a right-inverse of pre on Suc. This theorem states the partial inverse relation in the direction we most often need. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sucpre	⊢ (𝑁 ∈ Suc → suc pre 𝑁 = 𝑁)

Proof of Theorem sucpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		presucmap 39564	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ran SucMap → pre 𝑁 SucMap 𝑁)
2		preex 39561	. . . 4 ⊢ pre 𝑁 ∈ V
3		brsucmap 39535	. . . 4 ⊢ (( pre 𝑁 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ran SucMap ) → ( pre 𝑁 SucMap 𝑁 ↔ suc pre 𝑁 = 𝑁))
4	2, 3	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ran SucMap → ( pre 𝑁 SucMap 𝑁 ↔ suc pre 𝑁 = 𝑁))
5	1, 4	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ran SucMap → suc pre 𝑁 = 𝑁)
6		df-succl 39538	. 2 ⊢ Suc = ran SucMap
7	5, 6	eleq2s 2878	1 ⊢ (𝑁 ∈ Suc → suc pre 𝑁 = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  ran crn 5652  suc csuc 6367   SucMap csucmap 39247   Suc csuccl 39248   pre cpre 39249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-reg 9593

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-eprel 5551  df-fr 5604  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-suc 6371  df-iota 6497  df-sucmap 39531  df-succl 39538  df-pre 39544

This theorem is used by:  presuc  39567  press  39568  preel  39569