Theorem sucpre 39206

Description: suc is a right-inverse of pre on Suc. This theorem states the partial inverse relation in the direction we most often need. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sucpre	⊢ (𝑁 ∈ Suc → suc pre 𝑁 = 𝑁)

Proof of Theorem sucpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		presucmap 39204	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ran SucMap → pre 𝑁 SucMap 𝑁)
2		preex 39201	. . . 4 ⊢ pre 𝑁 ∈ V
3		brsucmap 39175	. . . 4 ⊢ (( pre 𝑁 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ran SucMap ) → ( pre 𝑁 SucMap 𝑁 ↔ suc pre 𝑁 = 𝑁))
4	2, 3	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ran SucMap → ( pre 𝑁 SucMap 𝑁 ↔ suc pre 𝑁 = 𝑁))
5	1, 4	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ran SucMap → suc pre 𝑁 = 𝑁)
6		df-succl 39178	. 2 ⊢ Suc = ran SucMap
7	5, 6	eleq2s 2883	1 ⊢ (𝑁 ∈ Suc → suc pre 𝑁 = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   class class class wbr 5111  ran crn 5664  suc csuc 6366   SucMap csucmap 38887   Suc csuccl 38888   pre cpre 38889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-reg 9561

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-eprel 5563  df-fr 5616  df-xp 5669  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-suc 6370  df-iota 6496  df-sucmap 39171  df-succl 39178  df-pre 39184

This theorem is used by:  presuc  39207  press  39208  preel  39209