Theorem sucpre 39146

Description: suc is a right-inverse of pre on Suc. This theorem states the partial inverse relation in the direction we most often need. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sucpre	⊢ (𝑁 ∈ Suc → suc pre 𝑁 = 𝑁)

Proof of Theorem sucpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		presucmap 39144	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ran SucMap → pre 𝑁 SucMap 𝑁)
2		preex 39141	. . . 4 ⊢ pre 𝑁 ∈ V
3		brsucmap 39115	. . . 4 ⊢ (( pre 𝑁 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ran SucMap ) → ( pre 𝑁 SucMap 𝑁 ↔ suc pre 𝑁 = 𝑁))
4	2, 3	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ran SucMap → ( pre 𝑁 SucMap 𝑁 ↔ suc pre 𝑁 = 𝑁))
5	1, 4	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ran SucMap → suc pre 𝑁 = 𝑁)
6		df-succl 39118	. 2 ⊢ Suc = ran SucMap
7	5, 6	eleq2s 2881	1 ⊢ (𝑁 ∈ Suc → suc pre 𝑁 = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5109  ran crn 5662  suc csuc 6362   SucMap csucmap 38827   Suc csuccl 38828   pre cpre 38829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9550

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-eprel 5561  df-fr 5614  df-xp 5667  df-cnv 5669  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-suc 6366  df-iota 6492  df-sucmap 39111  df-succl 39118  df-pre 39124

This theorem is referenced by:  presuc  39147  press  39148  preel  39149