Theorem raluz 12936

Description: Restricted universal quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
raluz	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem raluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 12882	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛)))
2	1	imbi1d 340	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜑) ↔ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) → 𝜑)))
3		impexp 449	. . 3 ⊢ (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) → 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑)))
4	2, 3	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑))))
5	4	ralbidv2 3167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2100  ∀wral 3054   class class class wbr 5154  ‘cfv 6556   ≤ cle 11300  ℤcz 12614  ℤ_≥cuz 12878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pr 5435  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rab 3429  df-v 3474  df-dif 3961  df-un 3963  df-in 3965  df-ss 3975  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4917  df-br 5155  df-opab 5217  df-mpt 5238  df-id 5582  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fv 6564  df-ov 7430  df-neg 11498  df-z 12615  df-uz 12879

This theorem is referenced by: (None)