Theorem raluz 12686

Description: Restricted universal quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
raluz	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem raluz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz1 12636	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛)))
2	1	imbi1d 342	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜑) ↔ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) → 𝜑)))
3		impexp 452	. . 3 ⊢ (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) → 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑)))
4	2, 3	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑))))
5	4	ralbidv2 3167	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458   ≤ cle 11060  ℤcz 12369  ℤ_≥cuz 12632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fv 6466  df-ov 7310  df-neg 11258  df-z 12370  df-uz 12633

This theorem is referenced by: (None)