Theorem ringbn0 20429

Description: The base set of a ring is not empty. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.) (Revised by AV, 25-Aug-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ringbn0	⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem ringbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 20425	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
2		ringbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	2	grpbn0 19138	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
4	1, 3	syl 18	1 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝐵 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  ‘cfv 6527  Basecbs 17348  Grpcgrp 19105  Ringcrg 20420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-ring 20422

This theorem is used by: (None)