Theorem ringbn0 20498

Description: The base set of a ring is not empty. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.) (Revised by AV, 25-Aug-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ringbn0	⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem ringbn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 20494	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
2		ringbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	2	grpbn0 19206	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
4	1, 3	syl 18	1 ⊢ (𝐺 ∈ Ring → 𝐵 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  ‘cfv 6558  Basecbs 17416  Grpcgrp 19173  Ringcrg 20489

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-ring 20491

This theorem is used by: (None)