Theorem ringgrpd 20449

Description: A ring is a group. (Contributed by SN, 16-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringgrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ringgrpd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem ringgrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 20444	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Grpcgrp 19124  Ringcrg 20439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-nul 5260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6487  df-fv 6539  df-ov 7415  df-ring 20441

This theorem is used by:  crnggrpd  20454  ringdi22  20473  ringcom  20489  lringuplu  20776  isdomn4  20947  drnggrpd  20969  lssvnegcl  21211  rngqiprngimfo  21577  rngqiprngfulem4  21590  ofldchr  21862  asclmulg  22190  psrdi  22252  psrdir  22253  evlslem1  22371  rhmcomulmpl  22413  evlsmaprhm  22420  mhplss  22456  psdmvr  22470  evls1addd  22669  evls1maprhm  22674  rhmmpl  22678  r1pid2  26460  gsummulsubdishift2  33612  ringm1expp1  33776  elrgspnlem1  33785  elrgspnlem2  33786  elrgspnlem4  33788  elrgspn  33789  erler  33808  erld2  33809  rlocmulval  33813  rloccring  33814  fracfld  33852  znfermltl  33904  qsdrngilem  34000  qsdrngi  34001  qsdrnglem2  34002  qsdrng  34003  dflring2  34007  dflring3  34011  evls1subd  34086  q1pdir  34117  r1pcyc  34121  r1padd1  34122  r1plmhm  34123  r1pquslmic  34124  psrnzr  34126  0mplrim  34128  mplasclco  34130  selvply1rhmlem2  34135  selvply1rhmlem4  34137  selvply1rhm0  34140  mplmulmvr  34153  mplvrpmmhm  34160  psrgsum  34162  mplgsum  34167  esplyfval2  34179  esplyfval3  34186  esplyind  34189  vietalem  34193  vieta  34194  assalactf1o  34249  irredminply  34330  algextdeglem8  34338  rtelextdg2lem  34340  2sqr3minply  34394  cos9thpiminplylem6  34401  cos9thpiminply  34402  zrhcntr  34593  ellcsrspsn  36375  ply1divalg3  36376  r1peuqusdeg1  36377  fldhmf1  43108  aks6d1c1p2  43127  aks6d1c5lem3  43155  aks5lem2  43205  aks5lem5a  43209  rhmcomulpsr  43572  rhmpsr  43573  idomcanl  49388