Theorem s1rn 14610

Description: The range of a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1rn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐴”⟩ = {𝐴})

Proof of Theorem s1rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14609	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2	1	rneqd 5912	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐴”⟩ = ran {⟨0, 𝐴⟩})
3		c0ex 11170	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
4	3	rnsnop 6207	. 2 ⊢ ran {⟨0, 𝐴⟩} = {𝐴}
5	2, 4	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐴”⟩ = {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {csn 4581  ⟨cop 4587  ran crn 5646  0cc0 11070  ⟨“cs1 14606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-mulcl 11132  ax-i2m1 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fv 6525  df-s1 14607

This theorem is referenced by:  s2rn  14973  s3rn  14974  s7rn  14975  cycpmco2f1  33265  cycpmco2rn  33266  unitprodclb  33536  mrsubvrs  35836