Theorem s1rn 14504

Description: The range of a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1rn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐴”⟩ = {𝐴})

Proof of Theorem s1rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14503	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2	1	rneqd 5878	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐴”⟩ = ran {⟨0, 𝐴⟩})
3		c0ex 11103	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
4	3	rnsnop 6171	. 2 ⊢ ran {⟨0, 𝐴⟩} = {𝐴}
5	2, 4	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐴”⟩ = {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4576  ⟨cop 4582  ran crn 5617  0cc0 11003  ⟨“cs1 14500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-mulcl 11065  ax-i2m1 11071

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-s1 14501

This theorem is referenced by:  s2rn  14867  s3rn  14868  s7rn  14869  cycpmco2f1  33088  cycpmco2rn  33089  unitprodclb  33349  mrsubvrs  35554