Theorem s1rn 14644

Description: The range of a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1rn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐴”⟩ = {𝐴})

Proof of Theorem s1rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14643	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2	1	rneqd 5927	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐴”⟩ = ran {⟨0, 𝐴⟩})
3		c0ex 11206	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
4	3	rnsnop 6224	. 2 ⊢ ran {⟨0, 𝐴⟩} = {𝐴}
5	2, 4	eqtrdi 2813	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐴”⟩ = {𝐴})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {csn 4588  ⟨cop 4594  ran crn 5661  0cc0 11106  ⟨“cs1 14640

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-mulcl 11168  ax-i2m1 11174

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-s1 14641

This theorem is used by:  s2rn  15007  s3rn  15008  s7rn  15009  cycpmco2f1  33453  cycpmco2rn  33454  unitprodclb  33711  mrsubvrs  36022