Theorem s1rn 14634

Description: The range of a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1rn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐴”⟩ = {𝐴})

Proof of Theorem s1rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14633	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2	1	rneqd 5952	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐴”⟩ = ran {⟨0, 𝐴⟩})
3		c0ex 11253	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
4	3	rnsnop 6246	. 2 ⊢ ran {⟨0, 𝐴⟩} = {𝐴}
5	2, 4	eqtrdi 2791	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ⟨“𝐴”⟩ = {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {csn 4631  ⟨cop 4637  ran crn 5690  0cc0 11153  ⟨“cs1 14630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-mulcl 11215  ax-i2m1 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-s1 14631

This theorem is referenced by:  s2rn  14999  s3rn  15000  s7rn  15001  cycpmco2f1  33127  cycpmco2rn  33128  unitprodclb  33397  mrsubvrs  35507