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Theorem mrsubvrs 34811
Description: The set of variables in a substitution is the union, indexed by the variables in the original expression, of the variables in the substitution to that variable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubco.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
mrsubvrs.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mrsubvrs.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrsubvrs ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) β†’ (ran (πΉβ€˜π‘‹) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑋 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑅(π‘₯)

Proof of Theorem mrsubvrs
Dummy variables 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4332 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ Β¬ ran 𝑆 = βˆ…)
2 mrsubco.s . . . . . . 7 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
32rnfvprc 6884 . . . . . 6 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 = βˆ…)
41, 3nsyl2 141 . . . . 5 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝑇 ∈ V)
5 eqid 2730 . . . . . 6 (mCNβ€˜π‘‡) = (mCNβ€˜π‘‡)
6 mrsubvrs.v . . . . . 6 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
7 mrsubvrs.r . . . . . 6 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
85, 6, 7mrexval 34790 . . . . 5 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑅 = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
94, 8syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝑅 = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
109eleq2d 2817 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (𝑋 ∈ 𝑅 ↔ 𝑋 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)))
11 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑣 = βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜βˆ…))
1211rneqd 5936 . . . . . . . 8 (𝑣 = βˆ… β†’ ran (πΉβ€˜π‘£) = ran (πΉβ€˜βˆ…))
1312ineq1d 4210 . . . . . . 7 (𝑣 = βˆ… β†’ (ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜βˆ…) ∩ 𝑉))
14 rneq 5934 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = βˆ… β†’ ran 𝑣 = ran βˆ…)
15 rn0 5924 . . . . . . . . . . . 12 ran βˆ… = βˆ…
1614, 15eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = βˆ… β†’ ran 𝑣 = βˆ…)
1716ineq1d 4210 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = βˆ… β†’ (ran 𝑣 ∩ 𝑉) = (βˆ… ∩ 𝑉))
18 0in 4392 . . . . . . . . . 10 (βˆ… ∩ 𝑉) = βˆ…
1917, 18eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 (𝑣 = βˆ… β†’ (ran 𝑣 ∩ 𝑉) = βˆ…)
2019iuneq1d 5023 . . . . . . . 8 (𝑣 = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ βˆ… (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
21 0iun 5065 . . . . . . . 8 βˆͺ π‘₯ ∈ βˆ… (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆ…
2220, 21eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (𝑣 = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆ…)
2313, 22eqeq12d 2746 . . . . . 6 (𝑣 = βˆ… β†’ ((ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) ↔ (ran (πΉβ€˜βˆ…) ∩ 𝑉) = βˆ…))
2423imbi2d 339 . . . . 5 (𝑣 = βˆ… β†’ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)) ↔ (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜βˆ…) ∩ 𝑉) = βˆ…)))
25 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π‘¦))
2625rneqd 5936 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 β†’ ran (πΉβ€˜π‘£) = ran (πΉβ€˜π‘¦))
2726ineq1d 4210 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉))
28 rneq 5934 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑦 β†’ ran 𝑣 = ran 𝑦)
2928ineq1d 4210 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 β†’ (ran 𝑣 ∩ 𝑉) = (ran 𝑦 ∩ 𝑉))
3029iuneq1d 5023 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
3127, 30eqeq12d 2746 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑦 β†’ ((ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) ↔ (ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
3231imbi2d 339 . . . . 5 (𝑣 = 𝑦 β†’ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)) ↔ (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))))
33 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
3433rneqd 5936 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ran (πΉβ€˜π‘£) = ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
3534ineq1d 4210 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉))
36 rneq 5934 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ran 𝑣 = ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
3736ineq1d 4210 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (ran 𝑣 ∩ 𝑉) = (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉))
3837iuneq1d 5023 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
3935, 38eqeq12d 2746 . . . . . 6 (𝑣 = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ((ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) ↔ (ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
4039imbi2d 339 . . . . 5 (𝑣 = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)) ↔ (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))))
41 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π‘‹))
4241rneqd 5936 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 β†’ ran (πΉβ€˜π‘£) = ran (πΉβ€˜π‘‹))
4342ineq1d 4210 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜π‘‹) ∩ 𝑉))
44 rneq 5934 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑋 β†’ ran 𝑣 = ran 𝑋)
4544ineq1d 4210 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 β†’ (ran 𝑣 ∩ 𝑉) = (ran 𝑋 ∩ 𝑉))
4645iuneq1d 5023 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑋 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
4743, 46eqeq12d 2746 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 β†’ ((ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) ↔ (ran (πΉβ€˜π‘‹) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑋 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
4847imbi2d 339 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 β†’ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)) ↔ (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘‹) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑋 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))))
492mrsub0 34805 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)
5049rneqd 5936 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ ran (πΉβ€˜βˆ…) = ran βˆ…)
5150, 15eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ ran (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)
5251ineq1d 4210 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜βˆ…) ∩ 𝑉) = (βˆ… ∩ 𝑉))
5352, 18eqtrdi 2786 . . . . 5 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜βˆ…) ∩ 𝑉) = βˆ…)
54 uneq1 4155 . . . . . . . 8 ((ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) β†’ ((ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) βˆͺ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)) = (βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) βˆͺ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
55 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ 𝐹 ∈ ran 𝑆)
56 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ 𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
579adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ 𝑅 = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
5856, 57eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑅)
59 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
6059s1cld 14557 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
6160, 57eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ 𝑅)
622, 7mrsubccat 34807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ 𝑅) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ++ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
6355, 58, 61, 62syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ++ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
6463rneqd 5936 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ran ((πΉβ€˜π‘¦) ++ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
652, 7mrsubf 34806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…)
6665adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…)
6766, 58ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑅)
6867, 57eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
6966, 61ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∈ 𝑅)
7069, 57eleqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
71 ccatrn 14543 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) β†’ ran ((πΉβ€˜π‘¦) ++ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = (ran (πΉβ€˜π‘¦) βˆͺ ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
7268, 70, 71syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ ran ((πΉβ€˜π‘¦) ++ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = (ran (πΉβ€˜π‘¦) βˆͺ ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
7364, 72eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = (ran (πΉβ€˜π‘¦) βˆͺ ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
7473ineq1d 4210 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = ((ran (πΉβ€˜π‘¦) βˆͺ ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉))
75 indir 4274 . . . . . . . . . 10 ((ran (πΉβ€˜π‘¦) βˆͺ ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = ((ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) βˆͺ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉))
7674, 75eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = ((ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) βˆͺ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
77 ccatrn 14543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) β†’ ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = (ran 𝑦 βˆͺ ran βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
7856, 60, 77syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = (ran 𝑦 βˆͺ ran βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
79 s1rn 14553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) β†’ ran βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© = {𝑧})
8079ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ ran βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© = {𝑧})
8180uneq2d 4162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (ran 𝑦 βˆͺ ran βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = (ran 𝑦 βˆͺ {𝑧}))
8278, 81eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = (ran 𝑦 βˆͺ {𝑧}))
8382ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉) = ((ran 𝑦 βˆͺ {𝑧}) ∩ 𝑉))
84 indir 4274 . . . . . . . . . . . . 13 ((ran 𝑦 βˆͺ {𝑧}) ∩ 𝑉) = ((ran 𝑦 ∩ 𝑉) βˆͺ ({𝑧} ∩ 𝑉))
8583, 84eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉) = ((ran 𝑦 ∩ 𝑉) βˆͺ ({𝑧} ∩ 𝑉)))
8685iuneq1d 5023 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((ran 𝑦 ∩ 𝑉) βˆͺ ({𝑧} ∩ 𝑉))(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
87 iunxun 5096 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ π‘₯ ∈ ((ran 𝑦 ∩ 𝑉) βˆͺ ({𝑧} ∩ 𝑉))(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = (βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ ({𝑧} ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
8886, 87eqtrdi 2786 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = (βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ ({𝑧} ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
89 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
9089snssd 4811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ {𝑧} βŠ† 𝑉)
91 df-ss 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑧} βŠ† 𝑉 ↔ ({𝑧} ∩ 𝑉) = {𝑧})
9290, 91sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ({𝑧} ∩ 𝑉) = {𝑧})
9392iuneq1d 5023 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ({𝑧} ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ {𝑧} (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
94 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
95 s1eq 14554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
9695fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
9796rneqd 5936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) = ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
9897ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉))
9994, 98iunxsn 5093 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ π‘₯ ∈ {𝑧} (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)
10093, 99eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ({𝑧} ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉))
101 incom 4200 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑧} ∩ 𝑉) = (𝑉 ∩ {𝑧})
102 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉)
103 disjsn 4714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 ∩ {𝑧}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉)
104102, 103sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑉 ∩ {𝑧}) = βˆ…)
105101, 104eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ({𝑧} ∩ 𝑉) = βˆ…)
106105iuneq1d 5023 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ({𝑧} ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ βˆ… (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
10755adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ ran 𝑆)
108 eldif 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ (((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) βˆ– 𝑉) ↔ (𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉))
109108biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝑧 ∈ (((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) βˆ– 𝑉))
11059, 109sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝑧 ∈ (((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) βˆ– 𝑉))
111 difun2 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) βˆ– 𝑉) = ((mCNβ€˜π‘‡) βˆ– 𝑉)
112110, 111eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆ– 𝑉))
1132, 7, 6, 5mrsubcn 34808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆ– 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
114107, 112, 113syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
115114rneqd 5936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = ran βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
11680adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ran βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© = {𝑧})
117115, 116eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = {𝑧})
118117ineq1d 4210 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉) = ({𝑧} ∩ 𝑉))
119118, 105eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆ…)
12021, 106, 1193eqtr4a 2796 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ({𝑧} ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉))
121100, 120pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ({𝑧} ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉))
122121uneq2d 4162 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ ({𝑧} ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)) = (βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) βˆͺ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
12388, 122eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = (βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) βˆͺ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
12476, 123eqeq12d 2746 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ ((ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) ↔ ((ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) βˆͺ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)) = (βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) βˆͺ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉))))
12554, 124imbitrrid 245 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ ((ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) β†’ (ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
126125expcom 412 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) β†’ (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ ((ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) β†’ (ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))))
127126a2d 29 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) β†’ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)) β†’ (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))))
12824, 32, 40, 48, 53, 127wrdind 14676 . . . 4 (𝑋 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) β†’ (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘‹) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑋 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
129128com12 32 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (𝑋 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) β†’ (ran (πΉβ€˜π‘‹) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑋 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
13010, 129sylbid 239 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (𝑋 ∈ 𝑅 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘‹) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑋 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
131130imp 405 1 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) β†’ (ran (πΉβ€˜π‘‹) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑋 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627  βˆͺ ciun 4996  ran crn 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Word cword 14468   ++ cconcat 14524  βŸ¨β€œcs1 14549  mCNcmcn 34749  mVRcmvar 34750  mRExcmrex 34755  mRSubstcmrsub 34759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-frmd 18766  df-mrex 34775  df-mrsub 34779
This theorem is referenced by:  msubvrs  34849
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