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Theorem mrsubvrs 34156
Description: The set of variables in a substitution is the union, indexed by the variables in the original expression, of the variables in the substitution to that variable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubco.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
mrsubvrs.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mrsubvrs.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrsubvrs ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) β†’ (ran (πΉβ€˜π‘‹) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑋 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑅(π‘₯)

Proof of Theorem mrsubvrs
Dummy variables 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4298 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ Β¬ ran 𝑆 = βˆ…)
2 mrsubco.s . . . . . . 7 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
32rnfvprc 6841 . . . . . 6 (Β¬ 𝑇 ∈ V β†’ ran 𝑆 = βˆ…)
41, 3nsyl2 141 . . . . 5 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝑇 ∈ V)
5 eqid 2737 . . . . . 6 (mCNβ€˜π‘‡) = (mCNβ€˜π‘‡)
6 mrsubvrs.v . . . . . 6 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
7 mrsubvrs.r . . . . . 6 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
85, 6, 7mrexval 34135 . . . . 5 (𝑇 ∈ V β†’ 𝑅 = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
94, 8syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝑅 = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
109eleq2d 2824 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (𝑋 ∈ 𝑅 ↔ 𝑋 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)))
11 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑣 = βˆ… β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜βˆ…))
1211rneqd 5898 . . . . . . . 8 (𝑣 = βˆ… β†’ ran (πΉβ€˜π‘£) = ran (πΉβ€˜βˆ…))
1312ineq1d 4176 . . . . . . 7 (𝑣 = βˆ… β†’ (ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜βˆ…) ∩ 𝑉))
14 rneq 5896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = βˆ… β†’ ran 𝑣 = ran βˆ…)
15 rn0 5886 . . . . . . . . . . . 12 ran βˆ… = βˆ…
1614, 15eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = βˆ… β†’ ran 𝑣 = βˆ…)
1716ineq1d 4176 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = βˆ… β†’ (ran 𝑣 ∩ 𝑉) = (βˆ… ∩ 𝑉))
18 0in 4358 . . . . . . . . . 10 (βˆ… ∩ 𝑉) = βˆ…
1917, 18eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝑣 = βˆ… β†’ (ran 𝑣 ∩ 𝑉) = βˆ…)
2019iuneq1d 4986 . . . . . . . 8 (𝑣 = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ βˆ… (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
21 0iun 5028 . . . . . . . 8 βˆͺ π‘₯ ∈ βˆ… (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆ…
2220, 21eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑣 = βˆ… β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆ…)
2313, 22eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑣 = βˆ… β†’ ((ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) ↔ (ran (πΉβ€˜βˆ…) ∩ 𝑉) = βˆ…))
2423imbi2d 341 . . . . 5 (𝑣 = βˆ… β†’ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)) ↔ (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜βˆ…) ∩ 𝑉) = βˆ…)))
25 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π‘¦))
2625rneqd 5898 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 β†’ ran (πΉβ€˜π‘£) = ran (πΉβ€˜π‘¦))
2726ineq1d 4176 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉))
28 rneq 5896 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑦 β†’ ran 𝑣 = ran 𝑦)
2928ineq1d 4176 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 β†’ (ran 𝑣 ∩ 𝑉) = (ran 𝑦 ∩ 𝑉))
3029iuneq1d 4986 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
3127, 30eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑦 β†’ ((ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) ↔ (ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
3231imbi2d 341 . . . . 5 (𝑣 = 𝑦 β†’ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)) ↔ (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))))
33 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
3433rneqd 5898 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ran (πΉβ€˜π‘£) = ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
3534ineq1d 4176 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉))
36 rneq 5896 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ran 𝑣 = ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
3736ineq1d 4176 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (ran 𝑣 ∩ 𝑉) = (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉))
3837iuneq1d 4986 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
3935, 38eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑣 = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ((ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) ↔ (ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
4039imbi2d 341 . . . . 5 (𝑣 = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)) ↔ (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))))
41 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π‘‹))
4241rneqd 5898 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 β†’ ran (πΉβ€˜π‘£) = ran (πΉβ€˜π‘‹))
4342ineq1d 4176 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜π‘‹) ∩ 𝑉))
44 rneq 5896 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑋 β†’ ran 𝑣 = ran 𝑋)
4544ineq1d 4176 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 β†’ (ran 𝑣 ∩ 𝑉) = (ran 𝑋 ∩ 𝑉))
4645iuneq1d 4986 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑋 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
4743, 46eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 β†’ ((ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) ↔ (ran (πΉβ€˜π‘‹) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑋 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
4847imbi2d 341 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 β†’ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘£) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑣 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)) ↔ (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘‹) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑋 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))))
492mrsub0 34150 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)
5049rneqd 5898 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ ran (πΉβ€˜βˆ…) = ran βˆ…)
5150, 15eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ ran (πΉβ€˜βˆ…) = βˆ…)
5251ineq1d 4176 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜βˆ…) ∩ 𝑉) = (βˆ… ∩ 𝑉))
5352, 18eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜βˆ…) ∩ 𝑉) = βˆ…)
54 uneq1 4121 . . . . . . . 8 ((ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) β†’ ((ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) βˆͺ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)) = (βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) βˆͺ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
55 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ 𝐹 ∈ ran 𝑆)
56 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ 𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
579adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ 𝑅 = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
5856, 57eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑅)
59 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
6059s1cld 14498 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
6160, 57eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ 𝑅)
622, 7mrsubccat 34152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ 𝑅) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ++ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
6355, 58, 61, 62syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((πΉβ€˜π‘¦) ++ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
6463rneqd 5898 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ran ((πΉβ€˜π‘¦) ++ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
652, 7mrsubf 34151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…)
6665adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ 𝐹:π‘…βŸΆπ‘…)
6766, 58ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑅)
6867, 57eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
6966, 61ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∈ 𝑅)
7069, 57eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
71 ccatrn 14484 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) β†’ ran ((πΉβ€˜π‘¦) ++ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = (ran (πΉβ€˜π‘¦) βˆͺ ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
7268, 70, 71syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ ran ((πΉβ€˜π‘¦) ++ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = (ran (πΉβ€˜π‘¦) βˆͺ ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
7364, 72eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = (ran (πΉβ€˜π‘¦) βˆͺ ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
7473ineq1d 4176 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = ((ran (πΉβ€˜π‘¦) βˆͺ ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉))
75 indir 4240 . . . . . . . . . 10 ((ran (πΉβ€˜π‘¦) βˆͺ ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = ((ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) βˆͺ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉))
7674, 75eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = ((ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) βˆͺ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
77 ccatrn 14484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) β†’ ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = (ran 𝑦 βˆͺ ran βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
7856, 60, 77syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = (ran 𝑦 βˆͺ ran βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
79 s1rn 14494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) β†’ ran βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© = {𝑧})
8079ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ ran βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© = {𝑧})
8180uneq2d 4128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (ran 𝑦 βˆͺ ran βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = (ran 𝑦 βˆͺ {𝑧}))
8278, 81eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = (ran 𝑦 βˆͺ {𝑧}))
8382ineq1d 4176 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉) = ((ran 𝑦 βˆͺ {𝑧}) ∩ 𝑉))
84 indir 4240 . . . . . . . . . . . . 13 ((ran 𝑦 βˆͺ {𝑧}) ∩ 𝑉) = ((ran 𝑦 ∩ 𝑉) βˆͺ ({𝑧} ∩ 𝑉))
8583, 84eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉) = ((ran 𝑦 ∩ 𝑉) βˆͺ ({𝑧} ∩ 𝑉)))
8685iuneq1d 4986 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((ran 𝑦 ∩ 𝑉) βˆͺ ({𝑧} ∩ 𝑉))(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
87 iunxun 5059 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ π‘₯ ∈ ((ran 𝑦 ∩ 𝑉) βˆͺ ({𝑧} ∩ 𝑉))(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = (βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ ({𝑧} ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
8886, 87eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = (βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ ({𝑧} ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
89 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
9089snssd 4774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ {𝑧} βŠ† 𝑉)
91 df-ss 3932 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑧} βŠ† 𝑉 ↔ ({𝑧} ∩ 𝑉) = {𝑧})
9290, 91sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ({𝑧} ∩ 𝑉) = {𝑧})
9392iuneq1d 4986 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ({𝑧} ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ {𝑧} (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
94 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
95 s1eq 14495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
9695fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) = (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
9796rneqd 5898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) = ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
9897ineq1d 4176 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉))
9994, 98iunxsn 5056 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ π‘₯ ∈ {𝑧} (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)
10093, 99eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ({𝑧} ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉))
101 incom 4166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑧} ∩ 𝑉) = (𝑉 ∩ {𝑧})
102 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉)
103 disjsn 4677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 ∩ {𝑧}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉)
104102, 103sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑉 ∩ {𝑧}) = βˆ…)
105101, 104eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ({𝑧} ∩ 𝑉) = βˆ…)
106105iuneq1d 4986 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ({𝑧} ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ βˆ… (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
10755adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ ran 𝑆)
108 eldif 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ (((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) βˆ– 𝑉) ↔ (𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉))
109108biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝑧 ∈ (((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) βˆ– 𝑉))
11059, 109sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝑧 ∈ (((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) βˆ– 𝑉))
111 difun2 4445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) βˆ– 𝑉) = ((mCNβ€˜π‘‡) βˆ– 𝑉)
112110, 111eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆ– 𝑉))
1132, 7, 6, 5mrsubcn 34153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆ– 𝑉)) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
114107, 112, 113syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
115114rneqd 5898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = ran βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
11680adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ran βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© = {𝑧})
117115, 116eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = {𝑧})
118117ineq1d 4176 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉) = ({𝑧} ∩ 𝑉))
119118, 105eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉) = βˆ…)
12021, 106, 1193eqtr4a 2803 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ({𝑧} ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉))
121100, 120pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ({𝑧} ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉))
122121uneq2d 4128 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) βˆͺ βˆͺ π‘₯ ∈ ({𝑧} ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)) = (βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) βˆͺ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
12388, 122eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) = (βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) βˆͺ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
12476, 123eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ ((ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) ↔ ((ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) βˆͺ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)) = (βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) βˆͺ (ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉))))
12554, 124syl5ibr 246 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ (𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) β†’ ((ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) β†’ (ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
126125expcom 415 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) β†’ (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ ((ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉) β†’ (ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))))
127126a2d 29 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) β†’ ((𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘¦) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑦 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)) β†’ (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜(𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))))
12824, 32, 40, 48, 53, 127wrdind 14617 . . . 4 (𝑋 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) β†’ (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘‹) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑋 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
129128com12 32 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (𝑋 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) β†’ (ran (πΉβ€˜π‘‹) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑋 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
13010, 129sylbid 239 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 β†’ (𝑋 ∈ 𝑅 β†’ (ran (πΉβ€˜π‘‹) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑋 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉)))
131130imp 408 1 ((𝐹 ∈ ran 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) β†’ (ran (πΉβ€˜π‘‹) ∩ 𝑉) = βˆͺ π‘₯ ∈ (ran 𝑋 ∩ 𝑉)(ran (πΉβ€˜βŸ¨β€œπ‘₯β€βŸ©) ∩ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591  βˆͺ ciun 4959  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Word cword 14409   ++ cconcat 14465  βŸ¨β€œcs1 14490  mCNcmcn 34094  mVRcmvar 34095  mRExcmrex 34100  mRSubstcmrsub 34104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-frmd 18666  df-mrex 34120  df-mrsub 34124
This theorem is referenced by:  msubvrs  34194
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