Theorem setsidel 48166

Description: The injected slot is an element of the structure with replacement. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsidel.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
setsidel.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
setsidel.r	⊢ 𝑅 = (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩)

Assertion

Ref	Expression
setsidel	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)

Proof of Theorem setsidel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5450	. . . 4 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
2	1	snid 4633	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
3		elun2 4139	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
4	2, 3	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
5		setsidel.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩)
6		setsidel.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
7		setsidel.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
8		setsval 17252	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
9	6, 7, 8	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
10	5, 9	eqtrid 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
11	4, 10	eleqtrrd 2869	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905   ∪ cun 3906  {csn 4594  ⟨cop 4600   ↾ cres 5668  (class class class)co 7423   sSet csts 17248

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-res 5678  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-sets 17249

This theorem is used by: (None)