Theorem setsnidel 44717

Description: The injected slot is an element of the structure with replacement. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsidel.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
setsidel.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
setsidel.r	⊢ 𝑅 = (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩)
setsnidel.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
setsnidel.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
setsnidel.s	⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ 𝑆)
setsnidel.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setsnidel	⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ 𝑅)

Proof of Theorem setsnidel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsnidel.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
2	1	elexd 3442	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
3		setsnidel.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
4	3	necomd 2998	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
5		eldifsn 4717	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (V ∖ {𝐴}) ↔ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))
6	2, 4, 5	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (V ∖ {𝐴}))
7		setsnidel.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ 𝑆)
8		setsnidel.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
9		opelres 5886	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑌 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↔ (𝐶 ∈ (V ∖ {𝐴}) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ 𝑆)))
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ↔ (𝐶 ∈ (V ∖ {𝐴}) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ 𝑆)))
11	6, 7, 10	mpbir2and 709	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
12		elun1 4106	. . 3 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
14		setsidel.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩)
15		setsidel.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
16		setsidel.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
17		setsval 16796	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
18	15, 16, 17	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
19	14, 18	syl5eq 2791	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
20	13, 19	eleqtrrd 2842	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881  {csn 4558  ⟨cop 4564   ↾ cres 5582  (class class class)co 7255   sSet csts 16792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-res 5592  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-sets 16793

This theorem is referenced by: (None)