Theorem fsummmodsnunz 44779

Description: A finite sum of summands modulo a positive number with an additional summand is an integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsummmodsnunz	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem fsummmodsnunz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2908	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 mod 𝑁)
2		nfcsb1v 3861	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)
3		csbeq1a 3850	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 mod 𝑁) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁))
4	1, 2, 3	cbvsumi 15390	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)
5		snfi 8804	. . . . 5 ⊢ {𝑧} ∈ Fin
6		unfi 8920	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
7	5, 6	mpan2 687	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
8	7	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
9		rspcsbela 4374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
10	9	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
11	10	3ad2ant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
12	11	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
13		vex 3434	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
14		csbov1g 7313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)
16		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
17		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	16, 17	zmodcld 13593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
20	15, 19	eqeltrid 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
21	20	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
22	21	3ad2ant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
24	12, 23	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
25	8, 24	fsumzcl 15428	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
26	4, 25	eqeltrid 2844	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ∀wral 3065  Vcvv 3430  ⦋csb 3836   ∪ cun 3889  {csn 4566  (class class class)co 7268  Fincfn 8707  ℕcn 11956  ℤcz 12302   mod cmo 13570  Σcsu 15378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-mod 13571  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-sum 15379

This theorem is referenced by: (None)