Theorem fsummmodsnunz 42887

Description: A finite sum of summands modulo a positive number with an additional summand is an integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsummmodsnunz	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem fsummmodsnunz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2926	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 mod 𝑁)
2		nfcsb1v 3800	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)
3		csbeq1a 3791	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 mod 𝑁) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁))
4	1, 2, 3	cbvsumi 14904	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)
5		snfi 8383	. . . . 5 ⊢ {𝑧} ∈ Fin
6		unfi 8572	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
7	5, 6	mpan2 678	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
8	7	3ad2ant1 1113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
9		rspcsbela 4265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
10	9	expcom 406	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
11	10	3ad2ant3 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
12	11	imp 398	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
13		vex 3412	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
14		csbov1g 7014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)
16		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
17		simpl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	16, 17	zmodcld 13068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 11891	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
20	15, 19	syl5eqel 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
21	20	ex 405	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
22	21	3ad2ant2 1114	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
23	22	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
24	12, 23	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
25	8, 24	fsumzcl 14942	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
26	4, 25	syl5eqel 2864	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∀wral 3082  Vcvv 3409  ⦋csb 3782   ∪ cun 3823  {csn 4435  (class class class)co 6970  Fincfn 8298  ℕcn 11431  ℤcz 11786   mod cmo 13045  Σcsu 14893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-mod 13046  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-clim 14696  df-sum 14894

This theorem is referenced by: (None)