Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsummmodsnunz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsummmodsnunz 46030
Description: A finite sum of summands modulo a positive number with an additional summand is an integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fsummmodsnunz ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem fsummmodsnunz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2904 . . 3 𝑥(𝐵 mod 𝑁)
2 nfcsb1v 3918 . . 3 𝑘𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)
3 csbeq1a 3907 . . 3 (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 mod 𝑁) = 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁))
41, 2, 3cbvsumi 15640 . 2 Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁)
5 snfi 9041 . . . . 5 {𝑧} ∈ Fin
6 unfi 9169 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
75, 6mpan2 690 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
873ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
9 rspcsbela 4435 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
109expcom 415 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
11103ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
1211imp 408 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
13 vex 3479 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
14 csbov1g 7451 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ V → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑥 / 𝑘𝐵 mod 𝑁))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) = (𝑥 / 𝑘𝐵 mod 𝑁)
16 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
17 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
1816, 17zmodcld 13854 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
1918nn0zd 12581 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 / 𝑘𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
2015, 19eqeltrid 2838 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
2120ex 414 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
22213ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
2322adantr 482 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})) → (𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
2412, 23mpd 15 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})) → 𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
258, 24fsumzcl 15678 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝑥 / 𝑘(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
264, 25eqeltrid 2838 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475  csb 3893  cun 3946  {csn 4628  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  cn 12209  cz 12555   mod cmo 13831  Σcsu 15629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator