Theorem fsummmodsnunz 48044

Description: A finite sum of summands modulo a positive number with an additional summand is an integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsummmodsnunz	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem fsummmodsnunz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3873	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 mod 𝑁) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁))
2		nfcv 2931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 mod 𝑁)
3		nfcsb1v 3883	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)
4	1, 2, 3	cbvsum 15746	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁)
5		snfi 9040	. . . . 5 ⊢ {𝑧} ∈ Fin
6		unfi 9155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
7	5, 6	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
8	7	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
9		rspcsbela 4407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
10	9	expcom 418	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
11	10	3ad2ant3 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
12	11	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
13		vex 3465	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
14		csbov1g 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ V → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) = (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁)
16		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
17		simpl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	16, 17	zmodcld 13925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
20	15, 19	eqeltrid 2873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
21	20	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
22	21	3ad2ant2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
23	22	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ))
24	12, 23	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
25	8, 24	fsumzcl 15786	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})⦋𝑥 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)
26	4, 25	eqeltrid 2873	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})(𝐵 mod 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3461  ⦋csb 3859   ∪ cun 3909  {csn 4592  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  ℕcn 12233  ℤcz 12591   mod cmo 13902  Σcsu 15737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738

This theorem is referenced by: (None)