Theorem sn0topon 23224

Description: The singleton of the empty set is a topology on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sn0topon	⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)

Proof of Theorem sn0topon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw0 4773	. 2 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
2		0ex 5264	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		distopon 23223	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ (TopOn‘∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ (TopOn‘∅)
5	1, 4	eqeltrri 2857	1 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  ‘cfv 6533  TopOnctopon 23136

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-top 23120  df-topon 23137

This theorem is used by:  sn0top  23225  0cnf  46706