Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0cnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cnf 44208
Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
0cnf ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf
StepHypRef Expression
1 f0 6727 . 2 ∅:∅⟶∅
2 cnv0 6097 . . . . . 6 ∅ = ∅
32imaeq1i 6014 . . . . 5 (∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4 0ima 6034 . . . . 5 (∅ “ 𝑥) = ∅
53, 4eqtri 2761 . . . 4 (∅ “ 𝑥) = ∅
6 0ex 5268 . . . . 5 ∅ ∈ V
76snid 4626 . . . 4 ∅ ∈ {∅}
85, 7eqeltri 2830 . . 3 (∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
98rgenw 3065 . 2 𝑥 ∈ {∅} (∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10 sn0topon 22371 . . 3 {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11 iscn 22609 . . 3 (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
1210, 10, 11mp2an 691 . 2 (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
131, 9, 12mpbir2an 710 1 ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397  wcel 2107  wral 3061  c0 4286  {csn 4590  ccnv 5636  cima 5640  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-top 22266  df-topon 22283  df-cn 22601
This theorem is referenced by:  cncfiooicc  44225
  Copyright terms: Public domain W3C validator