Theorem 0cnf 43308

Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0cnf	⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6639	. 2 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		cnv0 6033	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
3	2	imaeq1i 5955	. . . . 5 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4		0ima 5975	. . . . 5 ⊢ (∅ “ 𝑥) = ∅
5	3, 4	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = ∅
6		0ex 5226	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snid 4594	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
8	5, 7	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
9	8	rgenw 3075	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10		sn0topon 22056	. . 3 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11		iscn 22294	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
12	10, 10, 11	mp2an 688	. 2 ⊢ (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
13	1, 9, 12	mpbir2an 707	1 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∅c0 4253  {csn 4558  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  TopOnctopon 21967   Cn ccn 22283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575  df-top 21951  df-topon 21968  df-cn 22286

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  43325