Theorem 0cnf 42180

Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0cnf	⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6560	. 2 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		cnv0 5999	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
3	2	imaeq1i 5926	. . . . 5 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4		0ima 5946	. . . . 5 ⊢ (∅ “ 𝑥) = ∅
5	3, 4	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = ∅
6		0ex 5211	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snid 4601	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
8	5, 7	eqeltri 2909	. . 3 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
9	8	rgenw 3150	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10		sn0topon 21606	. . 3 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11		iscn 21843	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
12	10, 10, 11	mp2an 690	. 2 ⊢ (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
13	1, 9, 12	mpbir2an 709	1 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∅c0 4291  {csn 4567  ^◡ccnv 5554   “ cima 5558  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  TopOnctopon 21518   Cn ccn 21832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-map 8408  df-top 21502  df-topon 21519  df-cn 21835

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  42197