Theorem 0cnf 46611

Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0cnf	⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6759	. 2 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		cnv0 5869	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
3	2	imaeq1i 6059	. . . . 5 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4		0ima 6080	. . . . 5 ⊢ (∅ “ 𝑥) = ∅
5	3, 4	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = ∅
6		0ex 5270	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snid 4628	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
8	5, 7	eqeltri 2859	. . 3 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
9	8	rgenw 3083	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10		sn0topon 23155	. . 3 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11		iscn 23392	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
12	10, 10, 11	mp2an 704	. 2 ⊢ (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
13	1, 9, 12	mpbir2an 723	1 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∅c0 4286  {csn 4589  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  TopOnctopon 23067   Cn ccn 23381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8822  df-top 23051  df-topon 23068  df-cn 23384

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  46628