Theorem 0cnf 45103

Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0cnf	⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6763	. 2 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		cnv0 6131	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
3	2	imaeq1i 6047	. . . . 5 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4		0ima 6068	. . . . 5 ⊢ (∅ “ 𝑥) = ∅
5	3, 4	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = ∅
6		0ex 5298	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snid 4657	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
8	5, 7	eqeltri 2821	. . 3 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
9	8	rgenw 3057	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10		sn0topon 22825	. . 3 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11		iscn 23063	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
12	10, 10, 11	mp2an 689	. 2 ⊢ (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
13	1, 9, 12	mpbir2an 708	1 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ∅c0 4315  {csn 4621  ^◡ccnv 5666   “ cima 5670  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  TopOnctopon 22736   Cn ccn 23052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-map 8819  df-top 22720  df-topon 22737  df-cn 23055

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  45120