Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0cnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cnf 45897
Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
0cnf ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf
StepHypRef Expression
1 f0 6788 . 2 ∅:∅⟶∅
2 cnv0 6159 . . . . . 6 ∅ = ∅
32imaeq1i 6074 . . . . 5 (∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4 0ima 6095 . . . . 5 (∅ “ 𝑥) = ∅
53, 4eqtri 2764 . . . 4 (∅ “ 𝑥) = ∅
6 0ex 5306 . . . . 5 ∅ ∈ V
76snid 4661 . . . 4 ∅ ∈ {∅}
85, 7eqeltri 2836 . . 3 (∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
98rgenw 3064 . 2 𝑥 ∈ {∅} (∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10 sn0topon 23006 . . 3 {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11 iscn 23244 . . 3 (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
1210, 10, 11mp2an 692 . 2 (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
131, 9, 12mpbir2an 711 1 ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wcel 2107  wral 3060  c0 4332  {csn 4625  ccnv 5683  cima 5687  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  TopOnctopon 22917   Cn ccn 23233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-map 8869  df-top 22901  df-topon 22918  df-cn 23236
This theorem is referenced by:  cncfiooicc  45914
  Copyright terms: Public domain W3C validator