Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0cnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cnf 45188
Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
0cnf ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf
StepHypRef Expression
1 f0 6772 . 2 ∅:∅⟶∅
2 cnv0 6139 . . . . . 6 ∅ = ∅
32imaeq1i 6054 . . . . 5 (∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4 0ima 6075 . . . . 5 (∅ “ 𝑥) = ∅
53, 4eqtri 2755 . . . 4 (∅ “ 𝑥) = ∅
6 0ex 5301 . . . . 5 ∅ ∈ V
76snid 4660 . . . 4 ∅ ∈ {∅}
85, 7eqeltri 2824 . . 3 (∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
98rgenw 3060 . 2 𝑥 ∈ {∅} (∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10 sn0topon 22888 . . 3 {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11 iscn 23126 . . 3 (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
1210, 10, 11mp2an 691 . 2 (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
131, 9, 12mpbir2an 710 1 ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  wcel 2099  wral 3056  c0 4318  {csn 4624  ccnv 5671  cima 5675  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  TopOnctopon 22799   Cn ccn 23115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8838  df-top 22783  df-topon 22800  df-cn 23118
This theorem is referenced by:  cncfiooicc  45205
  Copyright terms: Public domain W3C validator