Theorem 0cnf 46651

Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0cnf	⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6763	. 2 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		cnv0 5871	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
3	2	imaeq1i 6061	. . . . 5 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4		0ima 6082	. . . . 5 ⊢ (∅ “ 𝑥) = ∅
5	3, 4	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = ∅
6		0ex 5272	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snid 4630	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
8	5, 7	eqeltri 2861	. . 3 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
9	8	rgenw 3085	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10		sn0topon 23207	. . 3 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11		iscn 23444	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
12	10, 10, 11	mp2an 705	. 2 ⊢ (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
13	1, 9, 12	mpbir2an 724	1 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∅c0 4286  {csn 4591  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  TopOnctopon 23119   Cn ccn 23433

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8832  df-top 23103  df-topon 23120  df-cn 23436

This theorem is used by:  cncfiooicc  46668