Theorem 0cnf 44583

Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0cnf	⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6772	. 2 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		cnv0 6140	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
3	2	imaeq1i 6056	. . . . 5 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4		0ima 6077	. . . . 5 ⊢ (∅ “ 𝑥) = ∅
5	3, 4	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = ∅
6		0ex 5307	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snid 4664	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
8	5, 7	eqeltri 2829	. . 3 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
9	8	rgenw 3065	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10		sn0topon 22500	. . 3 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11		iscn 22738	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
12	10, 10, 11	mp2an 690	. 2 ⊢ (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
13	1, 9, 12	mpbir2an 709	1 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∅c0 4322  {csn 4628  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8821  df-top 22395  df-topon 22412  df-cn 22730

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  44600