Theorem 0cnf 45256

Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0cnf	⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6773	. 2 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		cnv0 6140	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
3	2	imaeq1i 6055	. . . . 5 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4		0ima 6076	. . . . 5 ⊢ (∅ “ 𝑥) = ∅
5	3, 4	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = ∅
6		0ex 5302	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snid 4661	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
8	5, 7	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
9	8	rgenw 3061	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10		sn0topon 22895	. . 3 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11		iscn 23133	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
12	10, 10, 11	mp2an 691	. 2 ⊢ (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
13	1, 9, 12	mpbir2an 710	1 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ∀wral 3057  ∅c0 4319  {csn 4625  ^◡ccnv 5672   “ cima 5676  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  TopOnctopon 22806   Cn ccn 23122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-map 8841  df-top 22790  df-topon 22807  df-cn 23125

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  45273