Theorem 0cnf 46451

Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0cnf	⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6745	. 2 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		cnv0 5855	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
3	2	imaeq1i 6046	. . . . 5 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4		0ima 6067	. . . . 5 ⊢ (∅ “ 𝑥) = ∅
5	3, 4	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = ∅
6		0ex 5257	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snid 4621	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
8	5, 7	eqeltri 2858	. . 3 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
9	8	rgenw 3080	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10		sn0topon 23058	. . 3 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11		iscn 23295	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
12	10, 10, 11	mp2an 702	. 2 ⊢ (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
13	1, 9, 12	mpbir2an 721	1 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∅c0 4285  {csn 4582  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  TopOnctopon 22970   Cn ccn 23284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-map 8810  df-top 22954  df-topon 22971  df-cn 23287

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  46468