Theorem 0cnf 46483

Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0cnf	⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6760	. 2 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		cnv0 5870	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
3	2	imaeq1i 6060	. . . . 5 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4		0ima 6081	. . . . 5 ⊢ (∅ “ 𝑥) = ∅
5	3, 4	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = ∅
6		0ex 5272	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snid 4633	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
8	5, 7	eqeltri 2865	. . 3 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
9	8	rgenw 3089	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10		sn0topon 23124	. . 3 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11		iscn 23361	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
12	10, 10, 11	mp2an 704	. 2 ⊢ (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
13	1, 9, 12	mpbir2an 723	1 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∅c0 4294  {csn 4594  ^◡ccnv 5661   “ cima 5665  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  TopOnctopon 23036   Cn ccn 23350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8826  df-top 23020  df-topon 23037  df-cn 23353

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  46500