Theorem 0cnf 46326

Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0cnf	⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6716	. 2 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		cnv0 6098	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
3	2	imaeq1i 6017	. . . . 5 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4		0ima 6038	. . . . 5 ⊢ (∅ “ 𝑥) = ∅
5	3, 4	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = ∅
6		0ex 5243	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snid 4607	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
8	5, 7	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
9	8	rgenw 3056	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10		sn0topon 22976	. . 3 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11		iscn 23213	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
12	10, 10, 11	mp2an 693	. 2 ⊢ (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
13	1, 9, 12	mpbir2an 712	1 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∅c0 4274  {csn 4568  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  TopOnctopon 22888   Cn ccn 23202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8769  df-top 22872  df-topon 22889  df-cn 23205

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  46343