Theorem 0cnf 43453

Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0cnf	⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6673	. 2 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		cnv0 6048	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
3	2	imaeq1i 5967	. . . . 5 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4		0ima 5987	. . . . 5 ⊢ (∅ “ 𝑥) = ∅
5	3, 4	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = ∅
6		0ex 5234	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snid 4600	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
8	5, 7	eqeltri 2830	. . 3 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
9	8	rgenw 3063	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10		sn0topon 22176	. . 3 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11		iscn 22414	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
12	10, 10, 11	mp2an 688	. 2 ⊢ (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
13	1, 9, 12	mpbir2an 707	1 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2101  ∀wral 3059  ∅c0 4259  {csn 4564  ^◡ccnv 5590   “ cima 5594  ⟶wf 6443  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  TopOnctopon 22087   Cn ccn 22403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-fv 6455  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-map 8637  df-top 22071  df-topon 22088  df-cn 22406

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  43470