Theorem 0cnf 45875

Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0cnf	⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6741	. 2 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		cnv0 6113	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
3	2	imaeq1i 6028	. . . . 5 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4		0ima 6049	. . . . 5 ⊢ (∅ “ 𝑥) = ∅
5	3, 4	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = ∅
6		0ex 5262	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snid 4626	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
8	5, 7	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
9	8	rgenw 3048	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10		sn0topon 22885	. . 3 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11		iscn 23122	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
12	10, 10, 11	mp2an 692	. 2 ⊢ (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
13	1, 9, 12	mpbir2an 711	1 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∅c0 4296  {csn 4589  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  TopOnctopon 22797   Cn ccn 23111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801  df-top 22781  df-topon 22798  df-cn 23114

This theorem is referenced by:  cncfiooicc  45892