Theorem 0cnf 47160

Description: The empty set is a continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0cnf	⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

Proof of Theorem 0cnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6793	. 2 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		cnv0 5873	. . . . . 6 ⊢ ◡∅ = ∅
3	2	imaeq1i 6067	. . . . 5 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = (∅ “ 𝑥)
4		0ima 6219	. . . . 5 ⊢ (∅ “ 𝑥) = ∅
5	3, 4	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) = ∅
6		0ex 5267	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	snid 4624	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
8	5, 7	eqeltri 2860	. . 3 ⊢ (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
9	8	rgenw 3084	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}
10		sn0topon 23371	. . 3 ⊢ {∅} ∈ (TopOn‘∅)
11		iscn 23608	. . 3 ⊢ (({∅} ∈ (TopOn‘∅) ∧ {∅} ∈ (TopOn‘∅)) → (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅})))
12	10, 10, 11	mp2an 705	. 2 ⊢ (∅ ∈ ({∅} Cn {∅}) ↔ (∅:∅⟶∅ ∧ ∀𝑥 ∈ {∅} (◡∅ “ 𝑥) ∈ {∅}))
13	1, 9, 12	mpbir2an 724	1 ⊢ ∅ ∈ ({∅} Cn {∅})

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∅c0 4281  {csn 4588  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  TopOnctopon 23283   Cn ccn 23597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-map 8887  df-top 23267  df-topon 23284  df-cn 23600

This theorem is used by:  cncfiooicc  47177