MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  distopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem distopon 22920
Description: The discrete topology on a set 𝐴, with base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
distopon (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄))

Proof of Theorem distopon
StepHypRef Expression
1 distop 22918 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2 unipw 5456 . . 3 βˆͺ 𝒫 𝐴 = 𝐴
32eqcomi 2737 . 2 𝐴 = βˆͺ 𝒫 𝐴
4 istopon 22834 . 2 (𝒫 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄) ↔ (𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐴 = βˆͺ 𝒫 𝐴))
51, 3, 4sylanblrc 588 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  π’« cpw 4606  βˆͺ cuni 4912  β€˜cfv 6553  Topctop 22815  TopOnctopon 22832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-top 22816  df-topon 22833
This theorem is referenced by:  sn0topon  22921  toponmre  23017  cndis  23215  txdis1cn  23559  xkofvcn  23608  distgp  24023  efmndtmd  24025  symgtgp  24030  cnfdmsn  45299
  Copyright terms: Public domain W3C validator