Theorem distopon 23223

Description: The discrete topology on a set 𝐴, with base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
distopon	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Proof of Theorem distopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 23221	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2		unipw 5425	. . 3 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
3	2	eqcomi 2769	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝒫 𝐴
4		istopon 23138	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝒫 𝐴))
5	1, 3, 4	sylanblrc 602	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6533  Topctop 23119  TopOnctopon 23136

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-top 23120  df-topon 23137

This theorem is used by:  sn0topon  23224  toponmre  23319  cndis  23517  txdis1cn  23862  xkofvcn  23911  distgp  24326  efmndtmd  24328  symgtgp  24333  cnfdmsn  46711