Theorem distopon 22962

Description: The discrete topology on a set 𝐴, with base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
distopon	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Proof of Theorem distopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 22960	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2		unipw 5402	. . 3 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
3	2	eqcomi 2745	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝒫 𝐴
4		istopon 22877	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝒫 𝐴))
5	1, 3, 4	sylanblrc 591	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  𝒫 cpw 4541  ∪ cuni 4850  ‘cfv 6498  Topctop 22858  TopOnctopon 22875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-top 22859  df-topon 22876

This theorem is referenced by:  sn0topon  22963  toponmre  23058  cndis  23256  txdis1cn  23600  xkofvcn  23649  distgp  24064  efmndtmd  24066  symgtgp  24071  cnfdmsn  46310