Theorem distopon 23206

Description: The discrete topology on a set 𝐴, with base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
distopon	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

Proof of Theorem distopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 23204	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2		unipw 5433	. . 3 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
3	2	eqcomi 2774	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝒫 𝐴
4		istopon 23121	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝒫 𝐴))
5	1, 3, 4	sylanblrc 602	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  𝒫 cpw 4564  ∪ cuni 4874  ‘cfv 6540  Topctop 23102  TopOnctopon 23119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-top 23103  df-topon 23120

This theorem is used by:  sn0topon  23207  toponmre  23302  cndis  23500  txdis1cn  23845  xkofvcn  23894  distgp  24309  efmndtmd  24311  symgtgp  24316  cnfdmsn  46656